Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54847 / 11814
↖ ↑ ↗
← N 81.292535°
W 29.358215°		 ← 46.24 m → N 81.292535°
W 29.355469°		 →
↑
46.25 m
↓
↑
46.25 m
↓
N 81.292119°
W 29.358215°		 ← 46.24 m →
2 139 m²		 N 81.292119°
W 29.355469°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54847 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11814 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418453216552734 y=0.0901374816894531 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418453216552734 × 217)
    floor (0.418453216552734 × 131072)
    floor (54847.5)     		tx = 54847
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0901374816894531 × 217)
    floor (0.0901374816894531 × 131072)
    floor (11814.5)     		ty = 11814
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54847 / 11814 ti = "17/54847/11814"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54847/11814.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54847 ÷ 217
    54847 ÷ 131072     		x = 0.418449401855469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11814 ÷ 217
    11814 ÷ 131072     		y = 0.0901336669921875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418449401855469 × 2 - 1) × π
    -0.163101196289062 × 3.1415926535     		Λ = -0.51239752
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0901336669921875 × 2 - 1) × π
    0.819732666015625 × 3.1415926535     		Φ = 2.57526612138866
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51239752} λ = -0.51239752}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57526612138866))-π/2
    2×atan(13.1348121478722)-π/2
    2×1.49480935612145-π/2
    2.9896187122429-1.57079632675     		φ = 1.41882239
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51239752} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.358215°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41882239 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.292535°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54847 KachelY 11814 -0.51239752 1.41882239 -29.358215 81.292535
    Oben rechts KachelX + 1 54848 KachelY 11814 -0.51234958 1.41882239 -29.355469 81.292535
    Unten links KachelX 54847 KachelY + 1 11815 -0.51239752 1.41881513 -29.358215 81.292119
    Unten rechts KachelX + 1 54848 KachelY + 1 11815 -0.51234958 1.41881513 -29.355469 81.292119
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41882239-1.41881513) × R
    7.26000000006444e-06 × 6371000     		dl = 46.2534600004105m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41882239-1.41881513) × R
    7.26000000006444e-06 × 6371000     		dr = 46.2534600004105m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51239752--0.51234958) × cos(1.41882239) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.151389611681325 × 6371000     		do = 46.238284176158m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51239752--0.51234958) × cos(1.41881513) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.151396787999812 × 6371000     		du = 46.2404760085425m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41882239)-sin(1.41881513))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151389611681325-0.151396787999812)×R²
    abs(-0.51234958--0.51239752)×7.17631848715095e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.17631848715095e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.17631848715095e-06×40589641000000     		ar = 2138.73131756958m²