Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54846 / 14275
↖ ↑ ↗
← N 80.207251°
W 29.360962°		 ← 51.95 m → N 80.207251°
W 29.358215°		 →
↑
51.92 m
↓
↑
51.92 m
↓
N 80.206784°
W 29.360962°		 ← 51.95 m →
2 697 m²		 N 80.206784°
W 29.358215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14275 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418445587158203 y=0.108913421630859 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418445587158203 × 217)
    floor (0.418445587158203 × 131072)
    floor (54846.5)     		tx = 54846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108913421630859 × 217)
    floor (0.108913421630859 × 131072)
    floor (14275.5)     		ty = 14275
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54846 / 14275 ti = "17/54846/14275"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54846/14275.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54846 ÷ 217
    54846 ÷ 131072     		x = 0.418441772460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14275 ÷ 217
    14275 ÷ 131072     		y = 0.108909606933594
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418441772460938 × 2 - 1) × π
    -0.163116455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51244546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108909606933594 × 2 - 1) × π
    0.782180786132812 × 3.1415926535     		Φ = 2.4572934114237
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51244546} λ = -0.51244546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.4572934114237))-π/2
    2×atan(11.6731742646366)-π/2
    2×1.48533846907196-π/2
    2.97067693814392-1.57079632675     		φ = 1.39988061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51244546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.360962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39988061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.207251°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54846 KachelY 14275 -0.51244546 1.39988061 -29.360962 80.207251
    Oben rechts KachelX + 1 54847 KachelY 14275 -0.51239752 1.39988061 -29.358215 80.207251
    Unten links KachelX 54846 KachelY + 1 14276 -0.51244546 1.39987246 -29.360962 80.206784
    Unten rechts KachelX + 1 54847 KachelY + 1 14276 -0.51239752 1.39987246 -29.358215 80.206784
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39988061-1.39987246) × R
    8.14999999998456e-06 × 6371000     		dl = 51.9236499999016m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39988061-1.39987246) × R
    8.14999999998456e-06 × 6371000     		dr = 51.9236499999016m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51244546--0.51239752) × cos(1.39988061) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.170084794531871 × 6371000     		do = 51.9482742326107m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51244546--0.51239752) × cos(1.39987246) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.170092825776082 × 6371000     		du = 51.9507271813168m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39988061)-sin(1.39987246))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.170084794531871-0.170092825776082)×R²
    abs(-0.51239752--0.51244546)×8.0312442104491e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.0312442104491e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.0312442104491e-06×40589641000000     		ar = 2697.40769258227m²