Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54846 / 11813
↖ ↑ ↗
← N 81.292950°
W 29.360962°		 ← 46.24 m → N 81.292950°
W 29.358215°		 →
↑
46.19 m
↓
↑
46.19 m
↓
N 81.292535°
W 29.360962°		 ← 46.24 m →
2 136 m²		 N 81.292535°
W 29.358215°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54846 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11813 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418445587158203 y=0.0901298522949219 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418445587158203 × 217)
    floor (0.418445587158203 × 131072)
    floor (54846.5)     		tx = 54846
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0901298522949219 × 217)
    floor (0.0901298522949219 × 131072)
    floor (11813.5)     		ty = 11813
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54846 / 11813 ti = "17/54846/11813"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54846/11813.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54846 ÷ 217
    54846 ÷ 131072     		x = 0.418441772460938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11813 ÷ 217
    11813 ÷ 131072     		y = 0.0901260375976562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418441772460938 × 2 - 1) × π
    -0.163116455078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51244546
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0901260375976562 × 2 - 1) × π
    0.819747924804688 × 3.1415926535     		Φ = 2.57531405828828
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51244546} λ = -0.51244546}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57531405828828))-π/2
    2×atan(13.1354418051355)-π/2
    2×1.4948129846099-π/2
    2.9896259692198-1.57079632675     		φ = 1.41882964
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51244546} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.360962°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41882964 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.292950°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54846 KachelY 11813 -0.51244546 1.41882964 -29.360962 81.292950
    Oben rechts KachelX + 1 54847 KachelY 11813 -0.51239752 1.41882964 -29.358215 81.292950
    Unten links KachelX 54846 KachelY + 1 11814 -0.51244546 1.41882239 -29.360962 81.292535
    Unten rechts KachelX + 1 54847 KachelY + 1 11814 -0.51239752 1.41882239 -29.358215 81.292535
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41882964-1.41882239) × R
    7.24999999990317e-06 × 6371000     		dl = 46.1897499993831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41882964-1.41882239) × R
    7.24999999990317e-06 × 6371000     		dr = 46.1897499993831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51244546--0.51239752) × cos(1.41882964) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151382445239611 × 6371000     		do = 46.2360953602874m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51244546--0.51239752) × cos(1.41882239) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151389611681325 × 6371000     		du = 46.238284176051m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41882964)-sin(1.41882239))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151382445239611-0.151389611681325)×R²
    abs(-0.51239752--0.51244546)×7.16644171369629e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.16644171369629e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.16644171369629e-06×40589641000000     		ar = 2135.68423614331m²