Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54844 / 18875
↖ ↑ ↗
← N 77.807671°
W 29.366455°		 ← 64.50 m → N 77.807671°
W 29.363708°		 →
↑
64.54 m
↓
↑
64.54 m
↓
N 77.807091°
W 29.366455°		 ← 64.51 m →
4 163 m²		 N 77.807091°
W 29.363708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18875 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418430328369141 y=0.144008636474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418430328369141 × 217)
    floor (0.418430328369141 × 131072)
    floor (54844.5)     		tx = 54844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144008636474609 × 217)
    floor (0.144008636474609 × 131072)
    floor (18875.5)     		ty = 18875
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54844 / 18875 ti = "17/54844/18875"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54844/18875.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54844 ÷ 217
    54844 ÷ 131072     		x = 0.418426513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18875 ÷ 217
    18875 ÷ 131072     		y = 0.144004821777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418426513671875 × 2 - 1) × π
    -0.16314697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51254133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144004821777344 × 2 - 1) × π
    0.711990356445312 × 3.1415926535     		Φ = 2.23678367317144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51254133} λ = -0.51254133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23678367317144))-π/2
    2×atan(9.36316779783669)-π/2
    2×1.46439818791453-π/2
    2.92879637582907-1.57079632675     		φ = 1.35800005
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51254133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.366455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35800005 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.807671°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54844 KachelY 18875 -0.51254133 1.35800005 -29.366455 77.807671
    Oben rechts KachelX + 1 54845 KachelY 18875 -0.51249339 1.35800005 -29.363708 77.807671
    Unten links KachelX 54844 KachelY + 1 18876 -0.51254133 1.35798992 -29.366455 77.807091
    Unten rechts KachelX + 1 54845 KachelY + 1 18876 -0.51249339 1.35798992 -29.363708 77.807091
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35800005-1.35798992) × R
    1.01299999999416e-05 × 6371000     		dl = 64.5382299996278m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35800005-1.35798992) × R
    1.01299999999416e-05 × 6371000     		dr = 64.5382299996278m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51254133--0.51249339) × cos(1.35800005) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.21119392644307 × 6371000     		do = 64.5040612673378m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51254133--0.51249339) × cos(1.35798992) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.211203827941779 × 6371000     		du = 64.5070854399082m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35800005)-sin(1.35798992))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.21119392644307-0.211203827941779)×R²
    abs(-0.51249339--0.51254133)×9.90149870930268e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.90149870930268e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.90149870930268e-06×40589641000000     		ar = 4163.07552927001m²