Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54844 / 16517
↖ ↑ ↗
← N 79.102490°
W 29.366455°		 ← 57.74 m → N 79.102490°
W 29.363708°		 →
↑
57.72 m
↓
↑
57.72 m
↓
N 79.101971°
W 29.366455°		 ← 57.74 m →
3 333 m²		 N 79.101971°
W 29.363708°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54844 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16517 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418430328369141 y=0.126018524169922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418430328369141 × 217)
    floor (0.418430328369141 × 131072)
    floor (54844.5)     		tx = 54844
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126018524169922 × 217)
    floor (0.126018524169922 × 131072)
    floor (16517.5)     		ty = 16517
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54844 / 16517 ti = "17/54844/16517"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54844/16517.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54844 ÷ 217
    54844 ÷ 131072     		x = 0.418426513671875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16517 ÷ 217
    16517 ÷ 131072     		y = 0.126014709472656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418426513671875 × 2 - 1) × π
    -0.16314697265625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51254133
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126014709472656 × 2 - 1) × π
    0.747970581054688 × 3.1415926535     		Φ = 2.34981888247553
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51254133} λ = -0.51254133}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34981888247553))-π/2
    2×atan(10.483670776268)-π/2
    2×1.47569761435041-π/2
    2.95139522870082-1.57079632675     		φ = 1.38059890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51254133} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.366455°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38059890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.102490°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54844 KachelY 16517 -0.51254133 1.38059890 -29.366455 79.102490
    Oben rechts KachelX + 1 54845 KachelY 16517 -0.51249339 1.38059890 -29.363708 79.102490
    Unten links KachelX 54844 KachelY + 1 16518 -0.51254133 1.38058984 -29.366455 79.101971
    Unten rechts KachelX + 1 54845 KachelY + 1 16518 -0.51249339 1.38058984 -29.363708 79.101971
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38059890-1.38058984) × R
    9.06000000000518e-06 × 6371000     		dl = 57.721260000033m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38059890-1.38058984) × R
    9.06000000000518e-06 × 6371000     		dr = 57.721260000033m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51254133--0.51249339) × cos(1.38059890) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189052765243347 × 6371000     		do = 57.7415807234575m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51254133--0.51249339) × cos(1.38058984) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189061661855975 × 6371000     		du = 57.744297977953m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38059890)-sin(1.38058984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189052765243347-0.189061661855975)×R²
    abs(-0.51249339--0.51254133)×8.8966126282064e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.8966126282064e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.8966126282064e-06×40589641000000     		ar = 3332.99521554068m²