Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54843 / 42524
↖ ↑ ↗
← N 53.284921°
W 29.369202°		 ← 182.59 m → N 53.284921°
W 29.366455°		 →
↑
182.59 m
↓
↑
182.59 m
↓
N 53.283279°
W 29.369202°		 ← 182.60 m →
33 341 m²		 N 53.283279°
W 29.366455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42524 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418422698974609 y=0.324436187744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418422698974609 × 217)
    floor (0.418422698974609 × 131072)
    floor (54843.5)     		tx = 54843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324436187744141 × 217)
    floor (0.324436187744141 × 131072)
    floor (42524.5)     		ty = 42524
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54843 / 42524 ti = "17/54843/42524"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54843/42524.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54843 ÷ 217
    54843 ÷ 131072     		x = 0.418418884277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42524 ÷ 217
    42524 ÷ 131072     		y = 0.324432373046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418418884277344 × 2 - 1) × π
    -0.163162231445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.51258927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.324432373046875 × 2 - 1) × π
    0.35113525390625 × 3.1415926535     		Φ = 1.10312393405673
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51258927} λ = -0.51258927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10312393405673))-π/2
    2×atan(3.01356551455102)-π/2
    2×1.25039682471202-π/2
    2.50079364942404-1.57079632675     		φ = 0.92999732
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51258927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.369202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92999732 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.284921°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54843 KachelY 42524 -0.51258927 0.92999732 -29.369202 53.284921
    Oben rechts KachelX + 1 54844 KachelY 42524 -0.51254133 0.92999732 -29.366455 53.284921
    Unten links KachelX 54843 KachelY + 1 42525 -0.51258927 0.92996866 -29.369202 53.283279
    Unten rechts KachelX + 1 54844 KachelY + 1 42525 -0.51254133 0.92996866 -29.366455 53.283279
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92999732-0.92996866) × R
    2.86600000000137e-05 × 6371000     		dl = 182.592860000087m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92999732-0.92996866) × R
    2.86600000000137e-05 × 6371000     		dr = 182.592860000087m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51258927--0.51254133) × cos(0.92999732) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.597836130626593 × 6371000     		do = 182.594542595244m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51258927--0.51254133) × cos(0.92996866) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.597859104762646 × 6371000     		du = 182.601559487749m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92999732)-sin(0.92996866))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.597836130626593-0.597859104762646)×R²
    abs(-0.51254133--0.51258927)×2.29741360536773e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29741360536773e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29741360536773e-05×40589641000000     		ar = 33341.100372414m²