Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54843 / 18876
↖ ↑ ↗
← N 77.807091°
W 29.369202°		 ← 64.51 m → N 77.807091°
W 29.366455°		 →
↑
64.47 m
↓
↑
64.47 m
↓
N 77.806511°
W 29.369202°		 ← 64.51 m →
4 159 m²		 N 77.806511°
W 29.366455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418422698974609 y=0.144016265869141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418422698974609 × 217)
    floor (0.418422698974609 × 131072)
    floor (54843.5)     		tx = 54843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.144016265869141 × 217)
    floor (0.144016265869141 × 131072)
    floor (18876.5)     		ty = 18876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54843 / 18876 ti = "17/54843/18876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54843/18876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54843 ÷ 217
    54843 ÷ 131072     		x = 0.418418884277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18876 ÷ 217
    18876 ÷ 131072     		y = 0.144012451171875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418418884277344 × 2 - 1) × π
    -0.163162231445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.51258927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.144012451171875 × 2 - 1) × π
    0.71197509765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.23673573627182
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51258927} λ = -0.51258927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23673573627182))-π/2
    2×atan(9.3627189673597)-π/2
    2×1.46439312580489-π/2
    2.92878625160978-1.57079632675     		φ = 1.35798992
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51258927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.369202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35798992 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.807091°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54843 KachelY 18876 -0.51258927 1.35798992 -29.369202 77.807091
    Oben rechts KachelX + 1 54844 KachelY 18876 -0.51254133 1.35798992 -29.366455 77.807091
    Unten links KachelX 54843 KachelY + 1 18877 -0.51258927 1.35797980 -29.369202 77.806511
    Unten rechts KachelX + 1 54844 KachelY + 1 18877 -0.51254133 1.35797980 -29.366455 77.806511
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35798992-1.35797980) × R
    1.01200000000023e-05 × 6371000     		dl = 64.474520000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35798992-1.35797980) × R
    1.01200000000023e-05 × 6371000     		dr = 64.474520000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51258927--0.51254133) × cos(1.35798992) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.211203827941779 × 6371000     		do = 64.5070854399082m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51258927--0.51254133) × cos(1.35797980) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.211213719644416 × 6371000     		du = 64.5101066205061m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35798992)-sin(1.35797980))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211203827941779-0.211213719644416)×R²
    abs(-0.51254133--0.51258927)×9.8917026372658e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.8917026372658e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.8917026372658e-06×40589641000000     		ar = 4159.1607650883m²