Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54843 / 14949
↖ ↑ ↗
← N 79.887326°
W 29.369202°		 ← 53.63 m → N 79.887326°
W 29.366455°		 →
↑
53.58 m
↓
↑
53.58 m
↓
N 79.886844°
W 29.369202°		 ← 53.63 m →
2 873 m²		 N 79.886844°
W 29.366455°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54843 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14949 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418422698974609 y=0.114055633544922 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418422698974609 × 217)
    floor (0.418422698974609 × 131072)
    floor (54843.5)     		tx = 54843
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114055633544922 × 217)
    floor (0.114055633544922 × 131072)
    floor (14949.5)     		ty = 14949
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54843 / 14949 ti = "17/54843/14949"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54843/14949.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54843 ÷ 217
    54843 ÷ 131072     		x = 0.418418884277344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14949 ÷ 217
    14949 ÷ 131072     		y = 0.114051818847656
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418418884277344 × 2 - 1) × π
    -0.163162231445312 × 3.1415926535     		Λ = -0.51258927
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114051818847656 × 2 - 1) × π
    0.771896362304688 × 3.1415926535     		Φ = 2.42498394107978
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51258927} λ = -0.51258927}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42498394107978))-π/2
    2×atan(11.3020479191364)-π/2
    2×1.48254659953305-π/2
    2.96509319906611-1.57079632675     		φ = 1.39429687
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51258927} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.369202°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39429687 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.887326°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54843 KachelY 14949 -0.51258927 1.39429687 -29.369202 79.887326
    Oben rechts KachelX + 1 54844 KachelY 14949 -0.51254133 1.39429687 -29.366455 79.887326
    Unten links KachelX 54843 KachelY + 1 14950 -0.51258927 1.39428846 -29.369202 79.886844
    Unten rechts KachelX + 1 54844 KachelY + 1 14950 -0.51254133 1.39428846 -29.366455 79.886844
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39429687-1.39428846) × R
    8.40999999995873e-06 × 6371000     		dl = 53.5801099997371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39429687-1.39428846) × R
    8.40999999995873e-06 × 6371000     		dr = 53.5801099997371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51258927--0.51254133) × cos(1.39429687) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.175584496210386 × 6371000     		do = 53.6280246875491m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51258927--0.51254133) × cos(1.39428846) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17559277554948 × 6371000     		du = 53.6305534108188m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39429687)-sin(1.39428846))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175584496210386-0.17559277554948)×R²
    abs(-0.51254133--0.51258927)×8.27933909472445e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.27933909472445e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.27933909472445e-06×40589641000000     		ar = 2873.46320641061m²