Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54842 / 17611
↖ ↑ ↗
← N 78.519561°
W 29.371948°		 ← 60.78 m → N 78.519561°
W 29.369202°		 →
↑
60.78 m
↓
↑
60.78 m
↓
N 78.519014°
W 29.371948°		 ← 60.78 m →
3 694 m²		 N 78.519014°
W 29.369202°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54842 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17611 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418415069580078 y=0.134365081787109 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418415069580078 × 217)
    floor (0.418415069580078 × 131072)
    floor (54842.5)     		tx = 54842
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134365081787109 × 217)
    floor (0.134365081787109 × 131072)
    floor (17611.5)     		ty = 17611
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54842 / 17611 ti = "17/54842/17611"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54842/17611.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54842 ÷ 217
    54842 ÷ 131072     		x = 0.418411254882812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17611 ÷ 217
    17611 ÷ 131072     		y = 0.134361267089844
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418411254882812 × 2 - 1) × π
    -0.163177490234375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51263720
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134361267089844 × 2 - 1) × π
    0.731277465820312 × 3.1415926535     		Φ = 2.29737591429119
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51263720} λ = -0.51263720}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29737591429119))-π/2
    2×atan(9.94804365540191)-π/2
    2×1.47061059514137-π/2
    2.94122119028274-1.57079632675     		φ = 1.37042486
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51263720} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.371948°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37042486 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.519561°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54842 KachelY 17611 -0.51263720 1.37042486 -29.371948 78.519561
    Oben rechts KachelX + 1 54843 KachelY 17611 -0.51258927 1.37042486 -29.369202 78.519561
    Unten links KachelX 54842 KachelY + 1 17612 -0.51263720 1.37041532 -29.371948 78.519014
    Unten rechts KachelX + 1 54843 KachelY + 1 17612 -0.51258927 1.37041532 -29.369202 78.519014
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37042486-1.37041532) × R
    9.53999999997457e-06 × 6371000     		dl = 60.779339999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37042486-1.37041532) × R
    9.53999999997457e-06 × 6371000     		dr = 60.779339999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51263720--0.51258927) × cos(1.37042486) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.199033379270195 × 6371000     		do = 60.7772367317438m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51263720--0.51258927) × cos(1.37041532) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.199042728391602 × 6371000     		du = 60.7800915984354m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37042486)-sin(1.37041532))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199033379270195-0.199042728391602)×R²
    abs(-0.51258927--0.51263720)×9.34912140718169e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.34912140718169e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.34912140718169e-06×40589641000000     		ar = 3694.08709411193m²