Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54841 / 16561
↖ ↑ ↗
← N 79.079619°
W 29.374695°		 ← 57.86 m → N 79.079619°
W 29.371948°		 →
↑
57.85 m
↓
↑
57.85 m
↓
N 79.079099°
W 29.374695°		 ← 57.86 m →
3 347 m²		 N 79.079099°
W 29.371948°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54841 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16561 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418407440185547 y=0.126354217529297 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418407440185547 × 217)
    floor (0.418407440185547 × 131072)
    floor (54841.5)     		tx = 54841
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126354217529297 × 217)
    floor (0.126354217529297 × 131072)
    floor (16561.5)     		ty = 16561
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54841 / 16561 ti = "17/54841/16561"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54841/16561.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54841 ÷ 217
    54841 ÷ 131072     		x = 0.418403625488281
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16561 ÷ 217
    16561 ÷ 131072     		y = 0.126350402832031
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418403625488281 × 2 - 1) × π
    -0.163192749023438 × 3.1415926535     		Λ = -0.51268514
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126350402832031 × 2 - 1) × π
    0.747299194335938 × 3.1415926535     		Φ = 2.34770965889225
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51268514} λ = -0.51268514}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34770965889225))-π/2
    2×atan(10.461581674244)-π/2
    2×1.4754980304657-π/2
    2.95099606093141-1.57079632675     		φ = 1.38019973
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51268514} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.374695°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38019973 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.079619°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54841 KachelY 16561 -0.51268514 1.38019973 -29.374695 79.079619
    Oben rechts KachelX + 1 54842 KachelY 16561 -0.51263720 1.38019973 -29.371948 79.079619
    Unten links KachelX 54841 KachelY + 1 16562 -0.51268514 1.38019065 -29.374695 79.079099
    Unten rechts KachelX + 1 54842 KachelY + 1 16562 -0.51263720 1.38019065 -29.371948 79.079099
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38019973-1.38019065) × R
    9.07999999988363e-06 × 6371000     		dl = 57.8486799992586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38019973-1.38019065) × R
    9.07999999988363e-06 × 6371000     		dr = 57.8486799992586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51268514--0.51263720) × cos(1.38019973) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189444721910934 × 6371000     		do = 57.8612943787033m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51268514--0.51263720) × cos(1.38019065) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189453637476925 × 6371000     		du = 57.8640174220436m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38019973)-sin(1.38019065))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189444721910934-0.189453637476925)×R²
    abs(-0.51263720--0.51268514)×8.91556599103005e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.91556599103005e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.91556599103005e-06×40589641000000     		ar = 3347.27826509493m²