Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54840 / 42536
↖ ↑ ↗
← N 53.265213°
W 29.377442°		 ← 182.68 m → N 53.265213°
W 29.374695°		 →
↑
182.66 m
↓
↑
182.66 m
↓
N 53.263570°
W 29.377442°		 ← 182.69 m →
33 368 m²		 N 53.263570°
W 29.374695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42536 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418399810791016 y=0.324527740478516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418399810791016 × 217)
    floor (0.418399810791016 × 131072)
    floor (54840.5)     		tx = 54840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.324527740478516 × 217)
    floor (0.324527740478516 × 131072)
    floor (42536.5)     		ty = 42536
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54840 / 42536 ti = "17/54840/42536"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54840/42536.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54840 ÷ 217
    54840 ÷ 131072     		x = 0.41839599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42536 ÷ 217
    42536 ÷ 131072     		y = 0.32452392578125
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41839599609375 × 2 - 1) × π
    -0.1632080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51273308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32452392578125 × 2 - 1) × π
    0.3509521484375 × 3.1415926535     		Φ = 1.10254869126129
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51273308} λ = -0.51273308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.10254869126129))-π/2
    2×atan(3.01183248120545)-π/2
    2×1.25022483460108-π/2
    2.50044966920216-1.57079632675     		φ = 0.92965334
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51273308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.377442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92965334 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.265213°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54840 KachelY 42536 -0.51273308 0.92965334 -29.377442 53.265213
    Oben rechts KachelX + 1 54841 KachelY 42536 -0.51268514 0.92965334 -29.374695 53.265213
    Unten links KachelX 54840 KachelY + 1 42537 -0.51273308 0.92962467 -29.377442 53.263570
    Unten rechts KachelX + 1 54841 KachelY + 1 42537 -0.51268514 0.92962467 -29.374695 53.263570
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92965334-0.92962467) × R
    2.86699999999529e-05 × 6371000     		dl = 182.6565699997m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92965334-0.92962467) × R
    2.86699999999529e-05 × 6371000     		dr = 182.6565699997m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51273308--0.51268514) × cos(0.92965334) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.598111835928641 × 6371000     		do = 182.678750091144m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51273308--0.51268514) × cos(0.92962467) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.59813481218343 × 6371000     		du = 182.685767630765m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92965334)-sin(0.92962467))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.598111835928641-0.59813481218343)×R²
    abs(-0.51268514--0.51273308)×2.29762547886425e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.29762547886425e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.29762547886425e-05×40589641000000     		ar = 33368.1148056891m²