Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54840 / 16553
↖ ↑ ↗
← N 79.083781°
W 29.377442°		 ← 57.84 m → N 79.083781°
W 29.374695°		 →
↑
57.85 m
↓
↑
57.85 m
↓
N 79.083261°
W 29.377442°		 ← 57.84 m →
3 346 m²		 N 79.083261°
W 29.374695°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54840 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16553 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418399810791016 y=0.126293182373047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418399810791016 × 217)
    floor (0.418399810791016 × 131072)
    floor (54840.5)     		tx = 54840
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126293182373047 × 217)
    floor (0.126293182373047 × 131072)
    floor (16553.5)     		ty = 16553
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54840 / 16553 ti = "17/54840/16553"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54840/16553.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54840 ÷ 217
    54840 ÷ 131072     		x = 0.41839599609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16553 ÷ 217
    16553 ÷ 131072     		y = 0.126289367675781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41839599609375 × 2 - 1) × π
    -0.1632080078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51273308
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126289367675781 × 2 - 1) × π
    0.747421264648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.34809315408921
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51273308} λ = -0.51273308}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34809315408921))-π/2
    2×atan(10.465594409952)-π/2
    2×1.47553434919701-π/2
    2.95106869839403-1.57079632675     		φ = 1.38027237
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51273308} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.377442°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38027237 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.083781°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54840 KachelY 16553 -0.51273308 1.38027237 -29.377442 79.083781
    Oben rechts KachelX + 1 54841 KachelY 16553 -0.51268514 1.38027237 -29.374695 79.083781
    Unten links KachelX 54840 KachelY + 1 16554 -0.51273308 1.38026329 -29.377442 79.083261
    Unten rechts KachelX + 1 54841 KachelY + 1 16554 -0.51268514 1.38026329 -29.374695 79.083261
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38027237-1.38026329) × R
    9.07999999988363e-06 × 6371000     		dl = 57.8486799992586m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38027237-1.38026329) × R
    9.07999999988363e-06 × 6371000     		dr = 57.8486799992586m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51273308--0.51268514) × cos(1.38027237) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189373396820781 × 6371000     		do = 57.8395098602629m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51273308--0.51268514) × cos(1.38026329) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189382312511704 × 6371000     		du = 57.8422329417606m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38027237)-sin(1.38026329))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189373396820781-0.189382312511704)×R²
    abs(-0.51268514--0.51273308)×8.91569092273392e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.91569092273392e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.91569092273392e-06×40589641000000     		ar = 3346.01806050296m²