Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54839 / 18861
↖ ↑ ↗
← N 77.815790°
W 29.380188°		 ← 64.46 m → N 77.815790°
W 29.377442°		 →
↑
64.47 m
↓
↑
64.47 m
↓
N 77.815210°
W 29.380188°		 ← 64.46 m →
4 156 m²		 N 77.815210°
W 29.377442°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54839 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 18861 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418392181396484 y=0.143901824951172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418392181396484 × 217)
    floor (0.418392181396484 × 131072)
    floor (54839.5)     		tx = 54839
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.143901824951172 × 217)
    floor (0.143901824951172 × 131072)
    floor (18861.5)     		ty = 18861
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54839 / 18861 ti = "17/54839/18861"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54839/18861.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54839 ÷ 217
    54839 ÷ 131072     		x = 0.418388366699219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 18861 ÷ 217
    18861 ÷ 131072     		y = 0.143898010253906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418388366699219 × 2 - 1) × π
    -0.163223266601562 × 3.1415926535     		Λ = -0.51278102
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.143898010253906 × 2 - 1) × π
    0.712203979492188 × 3.1415926535     		Φ = 2.23745478976612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51278102} λ = -0.51278102}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.23745478976612))-π/2
    2×atan(9.36945368416999)-π/2
    2×1.46446903255014-π/2
    2.92893806510028-1.57079632675     		φ = 1.35814174
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51278102} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.380188°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.35814174 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 77.815790°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54839 KachelY 18861 -0.51278102 1.35814174 -29.380188 77.815790
    Oben rechts KachelX + 1 54840 KachelY 18861 -0.51273308 1.35814174 -29.377442 77.815790
    Unten links KachelX 54839 KachelY + 1 18862 -0.51278102 1.35813162 -29.380188 77.815210
    Unten rechts KachelX + 1 54840 KachelY + 1 18862 -0.51273308 1.35813162 -29.377442 77.815210
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.35814174-1.35813162) × R
    1.01200000000023e-05 × 6371000     		dl = 64.474520000015m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.35814174-1.35813162) × R
    1.01200000000023e-05 × 6371000     		dr = 64.474520000015m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51278102--0.51273308) × cos(1.35814174) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.211055430257668 × 6371000     		do = 64.4617609675737m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51278102--0.51273308) × cos(1.35813162) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.211065322284696 × 6371000     		du = 64.4647822472489m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.35814174)-sin(1.35813162))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.211055430257668-0.211065322284696)×R²
    abs(-0.51273308--0.51278102)×9.8920270283076e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.8920270283076e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.8920270283076e-06×40589641000000     		ar = 4156.23849447122m²