Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54838 / 16573
↖ ↑ ↗
← N 79.073374°
W 29.382934°		 ← 57.88 m → N 79.073374°
W 29.380188°		 →
↑
57.91 m
↓
↑
57.91 m
↓
N 79.072853°
W 29.382934°		 ← 57.88 m →
3 352 m²		 N 79.072853°
W 29.380188°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54838 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16573 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418384552001953 y=0.126445770263672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418384552001953 × 217)
    floor (0.418384552001953 × 131072)
    floor (54838.5)     		tx = 54838
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126445770263672 × 217)
    floor (0.126445770263672 × 131072)
    floor (16573.5)     		ty = 16573
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54838 / 16573 ti = "17/54838/16573"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54838/16573.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54838 ÷ 217
    54838 ÷ 131072     		x = 0.418380737304688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16573 ÷ 217
    16573 ÷ 131072     		y = 0.126441955566406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418380737304688 × 2 - 1) × π
    -0.163238525390625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51282895
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126441955566406 × 2 - 1) × π
    0.747116088867188 × 3.1415926535     		Φ = 2.34713441609681
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51282895} λ = -0.51282895}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34713441609681))-π/2
    2×atan(10.4555654553162)-π/2
    2×1.47544352672016-π/2
    2.95088705344031-1.57079632675     		φ = 1.38009073
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51282895} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.382934°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38009073 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.073374°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54838 KachelY 16573 -0.51282895 1.38009073 -29.382934 79.073374
    Oben rechts KachelX + 1 54839 KachelY 16573 -0.51278102 1.38009073 -29.380188 79.073374
    Unten links KachelX 54838 KachelY + 1 16574 -0.51282895 1.38008164 -29.382934 79.072853
    Unten rechts KachelX + 1 54839 KachelY + 1 16574 -0.51278102 1.38008164 -29.380188 79.072853
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38009073-1.38008164) × R
    9.0900000000449e-06 × 6371000     		dl = 57.912390000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38009073-1.38008164) × R
    9.0900000000449e-06 × 6371000     		dr = 57.912390000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51282895--0.51278102) × cos(1.38009073) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.189551746946591 × 6371000     		do = 57.8819062375585m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51282895--0.51278102) × cos(1.38008164) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.189560672143717 × 6371000     		du = 57.8846316538713m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38009073)-sin(1.38008164))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189551746946591-0.189560672143717)×R²
    abs(-0.51278102--0.51282895)×8.92519712669682e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.92519712669682e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.92519712669682e-06×40589641000000     		ar = 3352.15844575396m²