Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54837 / 17609
↖ ↑ ↗
← N 78.520654°
W 29.385681°		 ← 60.78 m → N 78.520654°
W 29.382934°		 →
↑
60.78 m
↓
↑
60.78 m
↓
N 78.520107°
W 29.385681°		 ← 60.79 m →
3 695 m²		 N 78.520107°
W 29.382934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17609 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418376922607422 y=0.134349822998047 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418376922607422 × 217)
    floor (0.418376922607422 × 131072)
    floor (54837.5)     		tx = 54837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134349822998047 × 217)
    floor (0.134349822998047 × 131072)
    floor (17609.5)     		ty = 17609
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54837 / 17609 ti = "17/54837/17609"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54837/17609.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54837 ÷ 217
    54837 ÷ 131072     		x = 0.418373107910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17609 ÷ 217
    17609 ÷ 131072     		y = 0.134346008300781
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418373107910156 × 2 - 1) × π
    -0.163253784179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.51287689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134346008300781 × 2 - 1) × π
    0.731307983398438 × 3.1415926535     		Φ = 2.29747178809043
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51287689} λ = -0.51287689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29747178809043))-π/2
    2×atan(9.94899745786377)-π/2
    2×1.47062013573612-π/2
    2.94124027147225-1.57079632675     		φ = 1.37044394
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51287689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.385681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37044394 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.520654°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54837 KachelY 17609 -0.51287689 1.37044394 -29.385681 78.520654
    Oben rechts KachelX + 1 54838 KachelY 17609 -0.51282895 1.37044394 -29.382934 78.520654
    Unten links KachelX 54837 KachelY + 1 17610 -0.51287689 1.37043440 -29.385681 78.520107
    Unten rechts KachelX + 1 54838 KachelY + 1 17610 -0.51282895 1.37043440 -29.382934 78.520107
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37044394-1.37043440) × R
    9.53999999997457e-06 × 6371000     		dl = 60.779339999838m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37044394-1.37043440) × R
    9.53999999997457e-06 × 6371000     		dr = 60.779339999838m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51287689--0.51282895) × cos(1.37044394) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.199014680973038 × 6371000     		do = 60.784206207155m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51287689--0.51282895) × cos(1.37043440) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.199024030130673 × 6371000     		du = 60.787061680544m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37044394)-sin(1.37043440))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199014680973038-0.199024030130673)×R²
    abs(-0.51282895--0.51287689)×9.34915763500799e-06×R²
    4.79400000000796e-05×9.34915763500799e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×9.34915763500799e-06×40589641000000     		ar = 3694.5107127628m²