Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54837 / 11817
↖ ↑ ↗
← N 81.291287°
W 29.385681°		 ← 46.24 m → N 81.291287°
W 29.382934°		 →
↑
46.25 m
↓
↑
46.25 m
↓
N 81.290871°
W 29.385681°		 ← 46.25 m →
2 139 m²		 N 81.290871°
W 29.382934°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54837 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11817 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418376922607422 y=0.0901603698730469 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418376922607422 × 217)
    floor (0.418376922607422 × 131072)
    floor (54837.5)     		tx = 54837
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0901603698730469 × 217)
    floor (0.0901603698730469 × 131072)
    floor (11817.5)     		ty = 11817
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54837 / 11817 ti = "17/54837/11817"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54837/11817.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54837 ÷ 217
    54837 ÷ 131072     		x = 0.418373107910156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11817 ÷ 217
    11817 ÷ 131072     		y = 0.0901565551757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418373107910156 × 2 - 1) × π
    -0.163253784179688 × 3.1415926535     		Λ = -0.51287689
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0901565551757812 × 2 - 1) × π
    0.819686889648438 × 3.1415926535     		Φ = 2.5751223106898
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51287689} λ = -0.51287689}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.5751223106898))-π/2
    2×atan(13.1329233571752)-π/2
    2×1.49479846962445-π/2
    2.98959693924889-1.57079632675     		φ = 1.41880061
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51287689} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.385681°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41880061 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.291287°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54837 KachelY 11817 -0.51287689 1.41880061 -29.385681 81.291287
    Oben rechts KachelX + 1 54838 KachelY 11817 -0.51282895 1.41880061 -29.382934 81.291287
    Unten links KachelX 54837 KachelY + 1 11818 -0.51287689 1.41879335 -29.385681 81.290871
    Unten rechts KachelX + 1 54838 KachelY + 1 11818 -0.51282895 1.41879335 -29.382934 81.290871
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41880061-1.41879335) × R
    7.25999999984239e-06 × 6371000     		dl = 46.2534599989959m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41880061-1.41879335) × R
    7.25999999984239e-06 × 6371000     		dr = 46.2534599989959m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51287689--0.51282895) × cos(1.41880061) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.151411140612847 × 6371000     		do = 46.2448596659995m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51287689--0.51282895) × cos(1.41879335) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.151418316907393 × 6371000     		du = 46.2470514910718m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41880061)-sin(1.41879335))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151411140612847-0.151418316907393)×R²
    abs(-0.51282895--0.51287689)×7.17629454649593e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.17629454649593e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.17629454649593e-06×40589641000000     		ar = 2139.03545637393m²