Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54835 / 17698
↖ ↑ ↗
← N 78.471904°
W 29.391174°		 ← 61.03 m → N 78.471904°
W 29.388428°		 →
↑
61.03 m
↓
↑
61.03 m
↓
N 78.471355°
W 29.391174°		 ← 61.03 m →
3 725 m²		 N 78.471355°
W 29.388428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17698 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418361663818359 y=0.135028839111328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418361663818359 × 217)
    floor (0.418361663818359 × 131072)
    floor (54835.5)     		tx = 54835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.135028839111328 × 217)
    floor (0.135028839111328 × 131072)
    floor (17698.5)     		ty = 17698
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54835 / 17698 ti = "17/54835/17698"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54835/17698.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54835 ÷ 217
    54835 ÷ 131072     		x = 0.418357849121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17698 ÷ 217
    17698 ÷ 131072     		y = 0.135025024414062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418357849121094 × 2 - 1) × π
    -0.163284301757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.51297276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.135025024414062 × 2 - 1) × π
    0.729949951171875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29320540402425
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51297276} λ = -0.51297276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29320540402425))-π/2
    2×atan(9.90664163099428)-π/2
    2×1.47019471052466-π/2
    2.94038942104933-1.57079632675     		φ = 1.36959309
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51297276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.391174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.36959309 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.471904°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54835 KachelY 17698 -0.51297276 1.36959309 -29.391174 78.471904
    Oben rechts KachelX + 1 54836 KachelY 17698 -0.51292483 1.36959309 -29.388428 78.471904
    Unten links KachelX 54835 KachelY + 1 17699 -0.51297276 1.36958351 -29.391174 78.471355
    Unten rechts KachelX + 1 54836 KachelY + 1 17699 -0.51292483 1.36958351 -29.388428 78.471355
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.36959309-1.36958351) × R
    9.57999999995351e-06 × 6371000     		dl = 61.0341799997038m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.36959309-1.36958351) × R
    9.57999999995351e-06 × 6371000     		dr = 61.0341799997038m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51297276--0.51292483) × cos(1.36959309) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.199848438863815 × 6371000     		do = 61.0261249838228m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51297276--0.51292483) × cos(1.36958351) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.199857825595601 × 6371000     		du = 61.028991335296m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.36959309)-sin(1.36958351))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.199848438863815-0.199857825595601)×R²
    abs(-0.51292483--0.51297276)×9.38673178568772e-06×R²
    4.79300000000293e-05×9.38673178568772e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×9.38673178568772e-06×40589641000000     		ar = 3724.76696953572m²