Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54835 / 11799
↖ ↑ ↗
← N 81.298769°
W 29.391174°		 ← 46.20 m → N 81.298769°
W 29.388428°		 →
↑
46.19 m
↓
↑
46.19 m
↓
N 81.298354°
W 29.391174°		 ← 46.20 m →
2 134 m²		 N 81.298354°
W 29.388428°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54835 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11799 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418361663818359 y=0.0900230407714844 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418361663818359 × 217)
    floor (0.418361663818359 × 131072)
    floor (54835.5)     		tx = 54835
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0900230407714844 × 217)
    floor (0.0900230407714844 × 131072)
    floor (11799.5)     		ty = 11799
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54835 / 11799 ti = "17/54835/11799"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54835/11799.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54835 ÷ 217
    54835 ÷ 131072     		x = 0.418357849121094
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11799 ÷ 217
    11799 ÷ 131072     		y = 0.0900192260742188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418357849121094 × 2 - 1) × π
    -0.163284301757812 × 3.1415926535     		Λ = -0.51297276
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0900192260742188 × 2 - 1) × π
    0.819961547851562 × 3.1415926535     		Φ = 2.57598517488296
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51297276} λ = -0.51297276}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57598517488296))-π/2
    2×atan(13.1442601768562)-π/2
    2×1.49486376539919-π/2
    2.98972753079837-1.57079632675     		φ = 1.41893120
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51297276} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.391174°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41893120 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.298769°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54835 KachelY 11799 -0.51297276 1.41893120 -29.391174 81.298769
    Oben rechts KachelX + 1 54836 KachelY 11799 -0.51292483 1.41893120 -29.388428 81.298769
    Unten links KachelX 54835 KachelY + 1 11800 -0.51297276 1.41892395 -29.391174 81.298354
    Unten rechts KachelX + 1 54836 KachelY + 1 11800 -0.51292483 1.41892395 -29.388428 81.298354
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41893120-1.41892395) × R
    7.25000000012521e-06 × 6371000     		dl = 46.1897500007977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41893120-1.41892395) × R
    7.25000000012521e-06 × 6371000     		dr = 46.1897500007977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51297276--0.51292483) × cos(1.41893120) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151282054910862 × 6371000     		do = 46.1957953901807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51297276--0.51292483) × cos(1.41892395) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151289221464006 × 6371000     		du = 46.1979837833969m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41893120)-sin(1.41892395))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151282054910862-0.151289221464006)×R²
    abs(-0.51292483--0.51297276)×7.16655314397796e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.16655314397796e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.16655314397796e-06×40589641000000     		ar = 2133.82278065577m²