Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54834 / 17602
↖ ↑ ↗
← N 78.524479°
W 29.393921°		 ← 60.76 m → N 78.524479°
W 29.391174°		 →
↑
60.72 m
↓
↑
60.72 m
↓
N 78.523933°
W 29.393921°		 ← 60.77 m →
3 689 m²		 N 78.523933°
W 29.391174°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54834 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 17602 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418354034423828 y=0.134296417236328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418354034423828 × 217)
    floor (0.418354034423828 × 131072)
    floor (54834.5)     		tx = 54834
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.134296417236328 × 217)
    floor (0.134296417236328 × 131072)
    floor (17602.5)     		ty = 17602
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54834 / 17602 ti = "17/54834/17602"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54834/17602.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54834 ÷ 217
    54834 ÷ 131072     		x = 0.418350219726562
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 17602 ÷ 217
    17602 ÷ 131072     		y = 0.134292602539062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418350219726562 × 2 - 1) × π
    -0.163299560546875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51302070
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.134292602539062 × 2 - 1) × π
    0.731414794921875 × 3.1415926535     		Φ = 2.29780734638777
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51302070} λ = -0.51302070}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.29780734638777))-π/2
    2×atan(9.95233648669906)-π/2
    2×1.47065352075951-π/2
    2.94130704151902-1.57079632675     		φ = 1.37051071
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51302070} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.393921°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37051071 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 78.524479°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54834 KachelY 17602 -0.51302070 1.37051071 -29.393921 78.524479
    Oben rechts KachelX + 1 54835 KachelY 17602 -0.51297276 1.37051071 -29.391174 78.524479
    Unten links KachelX 54834 KachelY + 1 17603 -0.51302070 1.37050118 -29.393921 78.523933
    Unten rechts KachelX + 1 54835 KachelY + 1 17603 -0.51297276 1.37050118 -29.391174 78.523933
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37051071-1.37050118) × R
    9.53000000003534e-06 × 6371000     		dl = 60.7156300002252m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37051071-1.37050118) × R
    9.53000000003534e-06 × 6371000     		dr = 60.7156300002252m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51302070--0.51297276) × cos(1.37051071) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.198949246162584 × 6371000     		do = 60.7642207316096m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51302070--0.51297276) × cos(1.37050118) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.198958585646892 × 6371000     		du = 60.7670732505155m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37051071)-sin(1.37050118))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.198949246162584-0.198958585646892)×R²
    abs(-0.51297276--0.51302070)×9.33948430775766e-06×R²
    4.79399999999686e-05×9.33948430775766e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×9.33948430775766e-06×40589641000000     		ar = 3689.42453963404m²