Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54833 / 14189
↖ ↑ ↗
← N 80.247345°
W 29.396668°		 ← 51.74 m → N 80.247345°
W 29.393921°		 →
↑
51.73 m
↓
↑
51.73 m
↓
N 80.246879°
W 29.396668°		 ← 51.74 m →
2 677 m²		 N 80.246879°
W 29.393921°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54833 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14189 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418346405029297 y=0.108257293701172 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418346405029297 × 217)
    floor (0.418346405029297 × 131072)
    floor (54833.5)     		tx = 54833
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108257293701172 × 217)
    floor (0.108257293701172 × 131072)
    floor (14189.5)     		ty = 14189
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54833 / 14189 ti = "17/54833/14189"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54833/14189.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54833 ÷ 217
    54833 ÷ 131072     		x = 0.418342590332031
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14189 ÷ 217
    14189 ÷ 131072     		y = 0.108253479003906
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418342590332031 × 2 - 1) × π
    -0.163314819335938 × 3.1415926535     		Λ = -0.51306864
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108253479003906 × 2 - 1) × π
    0.783493041992188 × 3.1415926535     		Φ = 2.46141598479102
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51306864} λ = -0.51306864}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46141598479102))-π/2
    2×atan(11.7213971147929)-π/2
    2×1.4856883513821-π/2
    2.9713767027642-1.57079632675     		φ = 1.40058038
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51306864} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.396668°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40058038 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.247345°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54833 KachelY 14189 -0.51306864 1.40058038 -29.396668 80.247345
    Oben rechts KachelX + 1 54834 KachelY 14189 -0.51302070 1.40058038 -29.393921 80.247345
    Unten links KachelX 54833 KachelY + 1 14190 -0.51306864 1.40057226 -29.396668 80.246879
    Unten rechts KachelX + 1 54834 KachelY + 1 14190 -0.51302070 1.40057226 -29.393921 80.246879
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40058038-1.40057226) × R
    8.12000000016688e-06 × 6371000     		dl = 51.7325200010632m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40058038-1.40057226) × R
    8.12000000016688e-06 × 6371000     		dr = 51.7325200010632m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51306864--0.51302070) × cos(1.40058038) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.169395178992113 × 6371000     		do = 51.7376478960647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51306864--0.51302070) × cos(1.40057226) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.16940318163799 × 6371000     		du = 51.7400921101036m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40058038)-sin(1.40057226))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169395178992113-0.16940318163799)×R²
    abs(-0.51302070--0.51306864)×8.00264587708099e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.00264587708099e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.00264587708099e-06×40589641000000     		ar = 2676.58212743182m²