Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54832 / 85328
↖ ↑ ↗
← S 47.665387°
W 29.399414°		 ← 205.65 m → S 47.665387°
W 29.396668°		 →
↑
205.66 m
↓
↑
205.66 m
↓
S 47.667237°
W 29.399414°		 ← 205.64 m →
42 292 m²		 S 47.667237°
W 29.396668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 85328 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418338775634766 y=0.651004791259766 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418338775634766 × 217)
    floor (0.418338775634766 × 131072)
    floor (54832.5)     		tx = 54832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.651004791259766 × 217)
    floor (0.651004791259766 × 131072)
    floor (85328.5)     		ty = 85328
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54832 / 85328 ti = "17/54832/85328"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54832/85328.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54832 ÷ 217
    54832 ÷ 131072     		x = 0.4183349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 85328 ÷ 217
    85328 ÷ 131072     		y = 0.6510009765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4183349609375 × 2 - 1) × π
    -0.163330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51311657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.6510009765625 × 2 - 1) × π
    -0.302001953125 × 3.1415926535     		Φ = -0.948767117280151
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51311657} λ = -0.51311657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(-0.948767117280151))-π/2
    2×atan(0.387218123823342)-π/2
    2×0.369439189103393-π/2
    0.738878378206785-1.57079632675     		φ = -0.83191795
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51311657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.399414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° -0.83191795 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = -47.665387°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54832 KachelY 85328 -0.51311657 -0.83191795 -29.399414 -47.665387
    Oben rechts KachelX + 1 54833 KachelY 85328 -0.51306864 -0.83191795 -29.396668 -47.665387
    Unten links KachelX 54832 KachelY + 1 85329 -0.51311657 -0.83195023 -29.399414 -47.667237
    Unten rechts KachelX + 1 54833 KachelY + 1 85329 -0.51306864 -0.83195023 -29.396668 -47.667237
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(-0.83191795--0.83195023) × R
    3.22799999999956e-05 × 6371000     		dl = 205.655879999972m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(-0.83191795--0.83195023) × R
    3.22799999999956e-05 × 6371000     		dr = 205.655879999972m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51311657--0.51306864) × cos(-0.83191795) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.673459204190033 × 6371000     		do = 205.648869713779m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51311657--0.51306864) × cos(-0.83195023) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.673435341675823 × 6371000     		du = 205.641583007999m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(-0.83191795)-sin(-0.83195023))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.673459204190033-0.673435341675823)×R²
    abs(-0.51306864--0.51311657)×2.3862514209938e-05×R²
    4.79300000000293e-05×2.3862514209938e-05×6371000²
    4.79300000000293e-05×2.3862514209938e-05×40589641000000     		ar = 42292.1499987702m²