Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54832 / 14944
↖ ↑ ↗
← N 79.889737°
W 29.399414°		 ← 53.60 m → N 79.889737°
W 29.396668°		 →
↑
53.58 m
↓
↑
53.58 m
↓
N 79.889255°
W 29.399414°		 ← 53.61 m →
2 872 m²		 N 79.889255°
W 29.396668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14944 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418338775634766 y=0.114017486572266 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418338775634766 × 217)
    floor (0.418338775634766 × 131072)
    floor (54832.5)     		tx = 54832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114017486572266 × 217)
    floor (0.114017486572266 × 131072)
    floor (14944.5)     		ty = 14944
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54832 / 14944 ti = "17/54832/14944"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54832/14944.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54832 ÷ 217
    54832 ÷ 131072     		x = 0.4183349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14944 ÷ 217
    14944 ÷ 131072     		y = 0.114013671875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4183349609375 × 2 - 1) × π
    -0.163330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51311657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114013671875 × 2 - 1) × π
    0.77197265625 × 3.1415926535     		Φ = 2.42522362557788
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51311657} λ = -0.51311657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42522362557788))-π/2
    2×atan(11.3047571694891)-π/2
    2×1.4825676394913-π/2
    2.96513527898261-1.57079632675     		φ = 1.39433895
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51311657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.399414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39433895 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.889737°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54832 KachelY 14944 -0.51311657 1.39433895 -29.399414 79.889737
    Oben rechts KachelX + 1 54833 KachelY 14944 -0.51306864 1.39433895 -29.396668 79.889737
    Unten links KachelX 54832 KachelY + 1 14945 -0.51311657 1.39433054 -29.399414 79.889255
    Unten rechts KachelX + 1 54833 KachelY + 1 14945 -0.51306864 1.39433054 -29.396668 79.889255
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39433895-1.39433054) × R
    8.41000000018077e-06 × 6371000     		dl = 53.5801100011517m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39433895-1.39433054) × R
    8.41000000018077e-06 × 6371000     		dr = 53.5801100011517m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51311657--0.51306864) × cos(1.39433895) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17554306979449 × 6371000     		do = 53.6041881449099m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51311657--0.51306864) × cos(1.39433054) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.175551349195717 × 6371000     		du = 53.6067163596758m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39433895)-sin(1.39433054))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17554306979449-0.175551349195717)×R²
    abs(-0.51306864--0.51311657)×8.27940122716253e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.27940122716253e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.27940122716253e-06×40589641000000     		ar = 2872.18602848299m²