Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54832 / 14191
↖ ↑ ↗
← N 80.246414°
W 29.399414°		 ← 51.73 m → N 80.246414°
W 29.396668°		 →
↑
51.73 m
↓
↑
51.73 m
↓
N 80.245948°
W 29.399414°		 ← 51.73 m →
2 676 m²		 N 80.245948°
W 29.396668°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54832 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14191 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418338775634766 y=0.108272552490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418338775634766 × 217)
    floor (0.418338775634766 × 131072)
    floor (54832.5)     		tx = 54832
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.108272552490234 × 217)
    floor (0.108272552490234 × 131072)
    floor (14191.5)     		ty = 14191
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54832 / 14191 ti = "17/54832/14191"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54832/14191.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54832 ÷ 217
    54832 ÷ 131072     		x = 0.4183349609375
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14191 ÷ 217
    14191 ÷ 131072     		y = 0.108268737792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.4183349609375 × 2 - 1) × π
    -0.163330078125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51311657
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.108268737792969 × 2 - 1) × π
    0.783462524414062 × 3.1415926535     		Φ = 2.46132011099178
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51311657} λ = -0.51311657}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.46132011099178))-π/2
    2×atan(11.7202733937877)-π/2
    2×1.48568023071857-π/2
    2.97136046143714-1.57079632675     		φ = 1.40056413
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51311657} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.399414°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40056413 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.246414°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54832 KachelY 14191 -0.51311657 1.40056413 -29.399414 80.246414
    Oben rechts KachelX + 1 54833 KachelY 14191 -0.51306864 1.40056413 -29.396668 80.246414
    Unten links KachelX 54832 KachelY + 1 14192 -0.51311657 1.40055601 -29.399414 80.245948
    Unten rechts KachelX + 1 54833 KachelY + 1 14192 -0.51306864 1.40055601 -29.396668 80.245948
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40056413-1.40055601) × R
    8.11999999994484e-06 × 6371000     		dl = 51.7325199996486m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40056413-1.40055601) × R
    8.11999999994484e-06 × 6371000     		dr = 51.7325199996486m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51311657--0.51306864) × cos(1.40056413) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.169411194128152 × 6371000     		do = 51.7317461437282m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51311657--0.51306864) × cos(1.40055601) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.169419196751676 × 6371000     		du = 51.7341898410927m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40056413)-sin(1.40055601))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.169411194128152-0.169419196751676)×R²
    abs(-0.51306864--0.51311657)×8.00262352360082e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.00262352360082e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.00262352360082e-06×40589641000000     		ar = 2676.27680121474m²