Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54831 / 16571
↖ ↑ ↗
← N 79.074415°
W 29.402161°		 ← 57.89 m → N 79.074415°
W 29.399414°		 →
↑
57.91 m
↓
↑
57.91 m
↓
N 79.073894°
W 29.402161°		 ← 57.89 m →
3 353 m²		 N 79.073894°
W 29.399414°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54831 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16571 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418331146240234 y=0.126430511474609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418331146240234 × 217)
    floor (0.418331146240234 × 131072)
    floor (54831.5)     		tx = 54831
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126430511474609 × 217)
    floor (0.126430511474609 × 131072)
    floor (16571.5)     		ty = 16571
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54831 / 16571 ti = "17/54831/16571"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54831/16571.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54831 ÷ 217
    54831 ÷ 131072     		x = 0.418327331542969
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16571 ÷ 217
    16571 ÷ 131072     		y = 0.126426696777344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418327331542969 × 2 - 1) × π
    -0.163345336914062 × 3.1415926535     		Λ = -0.51316451
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126426696777344 × 2 - 1) × π
    0.747146606445312 × 3.1415926535     		Φ = 2.34723028989605
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51316451} λ = -0.51316451}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34723028989605))-π/2
    2×atan(10.4565679181538)-π/2
    2×1.47545261281571-π/2
    2.95090522563142-1.57079632675     		φ = 1.38010890
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51316451} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.402161°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38010890 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.074415°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54831 KachelY 16571 -0.51316451 1.38010890 -29.402161 79.074415
    Oben rechts KachelX + 1 54832 KachelY 16571 -0.51311657 1.38010890 -29.399414 79.074415
    Unten links KachelX 54831 KachelY + 1 16572 -0.51316451 1.38009981 -29.402161 79.073894
    Unten rechts KachelX + 1 54832 KachelY + 1 16572 -0.51311657 1.38009981 -29.399414 79.073894
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38010890-1.38009981) × R
    9.0900000000449e-06 × 6371000     		dl = 57.912390000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38010890-1.38009981) × R
    9.0900000000449e-06 × 6371000     		dr = 57.912390000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51316451--0.51311657) × cos(1.38010890) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189533906324093 × 6371000     		do = 57.8885335940888m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51316451--0.51311657) × cos(1.38009981) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189542831552526 × 6371000     		du = 57.8912595885877m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38010890)-sin(1.38009981))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189533906324093-0.189542831552526)×R²
    abs(-0.51311657--0.51316451)×8.92522843332078e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.92522843332078e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.92522843332078e-06×40589641000000     		ar = 3352.54226845643m²