Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54830 / 43119
↖ ↑ ↗
← N 52.296722°
W 29.404907°		 ← 186.79 m → N 52.296722°
W 29.402161°		 →
↑
186.80 m
↓
↑
186.80 m
↓
N 52.295042°
W 29.404907°		 ← 186.80 m →
34 893 m²		 N 52.295042°
W 29.402161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43119 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418323516845703 y=0.328975677490234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418323516845703 × 217)
    floor (0.418323516845703 × 131072)
    floor (54830.5)     		tx = 54830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.328975677490234 × 217)
    floor (0.328975677490234 × 131072)
    floor (43119.5)     		ty = 43119
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54830 / 43119 ti = "17/54830/43119"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54830/43119.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54830 ÷ 217
    54830 ÷ 131072     		x = 0.418319702148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43119 ÷ 217
    43119 ÷ 131072     		y = 0.328971862792969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418319702148438 × 2 - 1) × π
    -0.163360595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51321245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.328971862792969 × 2 - 1) × π
    0.342056274414062 × 3.1415926535     		Φ = 1.0746014787828
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51321245} λ = -0.51321245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0746014787828))-π/2
    2×atan(2.92882546883519)-π/2
    2×1.24177315727357-π/2
    2.48354631454714-1.57079632675     		φ = 0.91274999
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51321245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.404907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91274999 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.296722°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54830 KachelY 43119 -0.51321245 0.91274999 -29.404907 52.296722
    Oben rechts KachelX + 1 54831 KachelY 43119 -0.51316451 0.91274999 -29.402161 52.296722
    Unten links KachelX 54830 KachelY + 1 43120 -0.51321245 0.91272067 -29.404907 52.295042
    Unten rechts KachelX + 1 54831 KachelY + 1 43120 -0.51316451 0.91272067 -29.402161 52.295042
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91274999-0.91272067) × R
    2.93199999999993e-05 × 6371000     		dl = 186.797719999996m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91274999-0.91272067) × R
    2.93199999999993e-05 × 6371000     		dr = 186.797719999996m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51321245--0.51316451) × cos(0.91274999) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.611572304128431 × 6371000     		do = 186.789923552241m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51321245--0.51316451) × cos(0.91272067) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.611595501513751 × 6371000     		du = 186.797008630819m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91274999)-sin(0.91272067))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611572304128431-0.611595501513751)×R²
    abs(-0.51316451--0.51321245)×2.3197385320417e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.3197385320417e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.3197385320417e-05×40589641000000     		ar = 34892.5935794017m²