Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54830 / 16582
↖ ↑ ↗
← N 79.068687°
W 29.404907°		 ← 57.92 m → N 79.068687°
W 29.402161°		 →
↑
57.91 m
↓
↑
57.91 m
↓
N 79.068167°
W 29.404907°		 ← 57.92 m →
3 354 m²		 N 79.068167°
W 29.402161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16582 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418323516845703 y=0.126514434814453 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418323516845703 × 217)
    floor (0.418323516845703 × 131072)
    floor (54830.5)     		tx = 54830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126514434814453 × 217)
    floor (0.126514434814453 × 131072)
    floor (16582.5)     		ty = 16582
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54830 / 16582 ti = "17/54830/16582"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54830/16582.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54830 ÷ 217
    54830 ÷ 131072     		x = 0.418319702148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16582 ÷ 217
    16582 ÷ 131072     		y = 0.126510620117188
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418319702148438 × 2 - 1) × π
    -0.163360595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51321245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126510620117188 × 2 - 1) × π
    0.746978759765625 × 3.1415926535     		Φ = 2.34670298400023
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51321245} λ = -0.51321245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34670298400023))-π/2
    2×atan(10.4510555617172)-π/2
    2×1.47540262870389-π/2
    2.95080525740778-1.57079632675     		φ = 1.38000893
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51321245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.404907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38000893 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.068687°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54830 KachelY 16582 -0.51321245 1.38000893 -29.404907 79.068687
    Oben rechts KachelX + 1 54831 KachelY 16582 -0.51316451 1.38000893 -29.402161 79.068687
    Unten links KachelX 54830 KachelY + 1 16583 -0.51321245 1.37999984 -29.404907 79.068167
    Unten rechts KachelX + 1 54831 KachelY + 1 16583 -0.51316451 1.37999984 -29.402161 79.068167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38000893-1.37999984) × R
    9.0900000000449e-06 × 6371000     		dl = 57.912390000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38000893-1.37999984) × R
    9.0900000000449e-06 × 6371000     		dr = 57.912390000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51321245--0.51316451) × cos(1.38000893) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.189632063338247 × 6371000     		do = 57.918513272907m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51321245--0.51316451) × cos(1.37999984) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.189640988394397 × 6371000     		du = 57.9212392147862m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38000893)-sin(1.37999984))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189632063338247-0.189640988394397)×R²
    abs(-0.51316451--0.51321245)×8.92505615002204e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.92505615002204e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.92505615002204e-06×40589641000000     		ar = 3354.27846182985m²