Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54830 / 14986
↖ ↑ ↗
← N 79.869467°
W 29.404907°		 ← 53.72 m → N 79.869467°
W 29.402161°		 →
↑
53.71 m
↓
↑
53.71 m
↓
N 79.868984°
W 29.404907°		 ← 53.72 m →
2 885 m²		 N 79.868984°
W 29.402161°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54830 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14986 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418323516845703 y=0.114337921142578 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418323516845703 × 217)
    floor (0.418323516845703 × 131072)
    floor (54830.5)     		tx = 54830
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114337921142578 × 217)
    floor (0.114337921142578 × 131072)
    floor (14986.5)     		ty = 14986
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54830 / 14986 ti = "17/54830/14986"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54830/14986.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54830 ÷ 217
    54830 ÷ 131072     		x = 0.418319702148438
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14986 ÷ 217
    14986 ÷ 131072     		y = 0.114334106445312
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418319702148438 × 2 - 1) × π
    -0.163360595703125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51321245
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114334106445312 × 2 - 1) × π
    0.771331787109375 × 3.1415926535     		Φ = 2.42321027579384
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51321245} λ = -0.51321245}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42321027579384))-π/2
    2×atan(11.2820196360679)-π/2
    2×1.4823907494486-π/2
    2.9647814988972-1.57079632675     		φ = 1.39398517
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51321245} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.404907°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39398517 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.869467°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54830 KachelY 14986 -0.51321245 1.39398517 -29.404907 79.869467
    Oben rechts KachelX + 1 54831 KachelY 14986 -0.51316451 1.39398517 -29.402161 79.869467
    Unten links KachelX 54830 KachelY + 1 14987 -0.51321245 1.39397674 -29.404907 79.868984
    Unten rechts KachelX + 1 54831 KachelY + 1 14987 -0.51316451 1.39397674 -29.402161 79.868984
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39398517-1.39397674) × R
    8.43000000005922e-06 × 6371000     		dl = 53.7075300003773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39398517-1.39397674) × R
    8.43000000005922e-06 × 6371000     		dr = 53.7075300003773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51321245--0.51316451) × cos(1.39398517) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.175891345218165 × 6371000     		do = 53.7217442729428m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51321245--0.51316451) × cos(1.39397674) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.175899643784733 × 6371000     		du = 53.7242788687775m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39398517)-sin(1.39397674))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175891345218165-0.175899643784733)×R²
    abs(-0.51316451--0.51321245)×8.29856656725525e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.29856656725525e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.29856656725525e-06×40589641000000     		ar = 2885.33025569932m²