Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54825 / 14966
↖ ↑ ↗
← N 79.879125°
W 29.418640°		 ← 53.67 m → N 79.879125°
W 29.415893°		 →
↑
53.71 m
↓
↑
53.71 m
↓
N 79.878642°
W 29.418640°		 ← 53.67 m →
2 883 m²		 N 79.878642°
W 29.415893°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54825 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14966 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418285369873047 y=0.114185333251953 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418285369873047 × 217)
    floor (0.418285369873047 × 131072)
    floor (54825.5)     		tx = 54825
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114185333251953 × 217)
    floor (0.114185333251953 × 131072)
    floor (14966.5)     		ty = 14966
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54825 / 14966 ti = "17/54825/14966"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54825/14966.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54825 ÷ 217
    54825 ÷ 131072     		x = 0.418281555175781
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14966 ÷ 217
    14966 ÷ 131072     		y = 0.114181518554688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418281555175781 × 2 - 1) × π
    -0.163436889648438 × 3.1415926535     		Λ = -0.51345213
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114181518554688 × 2 - 1) × π
    0.771636962890625 × 3.1415926535     		Φ = 2.42416901378624
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51345213} λ = -0.51345213}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42416901378624))-π/2
    2×atan(11.2928413236767)-π/2
    2×1.48247502652858-π/2
    2.96495005305716-1.57079632675     		φ = 1.39415373
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51345213} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.418640°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39415373 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.879125°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54825 KachelY 14966 -0.51345213 1.39415373 -29.418640 79.879125
    Oben rechts KachelX + 1 54826 KachelY 14966 -0.51340419 1.39415373 -29.415893 79.879125
    Unten links KachelX 54825 KachelY + 1 14967 -0.51345213 1.39414530 -29.418640 79.878642
    Unten rechts KachelX + 1 54826 KachelY + 1 14967 -0.51340419 1.39414530 -29.415893 79.878642
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39415373-1.39414530) × R
    8.43000000005922e-06 × 6371000     		dl = 53.7075300003773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39415373-1.39414530) × R
    8.43000000005922e-06 × 6371000     		dr = 53.7075300003773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51345213--0.51340419) × cos(1.39415373) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.175725410640238 × 6371000     		do = 53.6710635815634m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51345213--0.51340419) × cos(1.39414530) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.175733709456628 × 6371000     		du = 53.6735982537004m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39415373)-sin(1.39414530))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175725410640238-0.175733709456628)×R²
    abs(-0.51340419--0.51345213)×8.29881638994556e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.29881638994556e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.29881638994556e-06×40589641000000     		ar = 2882.60832309618m²