Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54824 / 14946
↖ ↑ ↗
← N 79.888773°
W 29.421387°		 ← 53.62 m → N 79.888773°
W 29.418640°		 →
↑
53.58 m
↓
↑
53.58 m
↓
N 79.888291°
W 29.421387°		 ← 53.62 m →
2 873 m²		 N 79.888291°
W 29.418640°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54824 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14946 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418277740478516 y=0.114032745361328 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418277740478516 × 217)
    floor (0.418277740478516 × 131072)
    floor (54824.5)     		tx = 54824
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114032745361328 × 217)
    floor (0.114032745361328 × 131072)
    floor (14946.5)     		ty = 14946
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54824 / 14946 ti = "17/54824/14946"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54824/14946.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54824 ÷ 217
    54824 ÷ 131072     		x = 0.41827392578125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14946 ÷ 217
    14946 ÷ 131072     		y = 0.114028930664062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41827392578125 × 2 - 1) × π
    -0.1634521484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51350007
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114028930664062 × 2 - 1) × π
    0.771942138671875 × 3.1415926535     		Φ = 2.42512775177864
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51350007} λ = -0.51350007}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42512775177864))-π/2
    2×atan(11.3036733914235)-π/2
    2×1.48255922410375-π/2
    2.96511844820751-1.57079632675     		φ = 1.39432212
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51350007} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.421387°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39432212 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.888773°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54824 KachelY 14946 -0.51350007 1.39432212 -29.421387 79.888773
    Oben rechts KachelX + 1 54825 KachelY 14946 -0.51345213 1.39432212 -29.418640 79.888773
    Unten links KachelX 54824 KachelY + 1 14947 -0.51350007 1.39431371 -29.421387 79.888291
    Unten rechts KachelX + 1 54825 KachelY + 1 14947 -0.51345213 1.39431371 -29.418640 79.888291
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39432212-1.39431371) × R
    8.40999999995873e-06 × 6371000     		dl = 53.5801099997371m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39432212-1.39431371) × R
    8.40999999995873e-06 × 6371000     		dr = 53.5801099997371m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51350007--0.51345213) × cos(1.39432212) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.175559638429215 × 6371000     		do = 53.6204324813404m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51350007--0.51345213) × cos(1.39431371) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.175567917805594 × 6371000     		du = 53.6229612159976m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39432212)-sin(1.39431371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.175559638429215-0.175567917805594)×R²
    abs(-0.51345213--0.51350007)×8.27937637878917e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.27937637878917e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.27937637878917e-06×40589641000000     		ar = 2873.05641570459m²