Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54823 / 16601
↖ ↑ ↗
← N 79.058787°
W 29.424134°		 ← 57.97 m → N 79.058787°
W 29.421387°		 →
↑
57.98 m
↓
↑
57.98 m
↓
N 79.058266°
W 29.424134°		 ← 57.97 m →
3 361 m²		 N 79.058266°
W 29.421387°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54823 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16601 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418270111083984 y=0.126659393310547 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418270111083984 × 217)
    floor (0.418270111083984 × 131072)
    floor (54823.5)     		tx = 54823
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126659393310547 × 217)
    floor (0.126659393310547 × 131072)
    floor (16601.5)     		ty = 16601
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54823 / 16601 ti = "17/54823/16601"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54823/16601.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54823 ÷ 217
    54823 ÷ 131072     		x = 0.418266296386719
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16601 ÷ 217
    16601 ÷ 131072     		y = 0.126655578613281
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418266296386719 × 2 - 1) × π
    -0.163467407226562 × 3.1415926535     		Λ = -0.51354801
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126655578613281 × 2 - 1) × π
    0.746688842773438 × 3.1415926535     		Φ = 2.34579218290745
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51354801} λ = -0.51354801}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34579218290745))-π/2
    2×atan(10.4415410624568)-π/2
    2×1.47531623153369-π/2
    2.95063246306737-1.57079632675     		φ = 1.37983614
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51354801} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.424134°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37983614 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.058787°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54823 KachelY 16601 -0.51354801 1.37983614 -29.424134 79.058787
    Oben rechts KachelX + 1 54824 KachelY 16601 -0.51350007 1.37983614 -29.421387 79.058787
    Unten links KachelX 54823 KachelY + 1 16602 -0.51354801 1.37982704 -29.424134 79.058266
    Unten rechts KachelX + 1 54824 KachelY + 1 16602 -0.51350007 1.37982704 -29.421387 79.058266
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37983614-1.37982704) × R
    9.10000000020617e-06 × 6371000     		dl = 57.9761000013135m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37983614-1.37982704) × R
    9.10000000020617e-06 × 6371000     		dr = 57.9761000013135m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51354801--0.51350007) × cos(1.37983614) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.189801715270664 × 6371000     		do = 57.9703293399079m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51354801--0.51350007) × cos(1.37982704) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.189810649847033 × 6371000     		du = 57.9730581895072m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37983614)-sin(1.37982704))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189801715270664-0.189810649847033)×R²
    abs(-0.51350007--0.51354801)×8.93457636941264e-06×R²
    4.79400000000796e-05×8.93457636941264e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×8.93457636941264e-06×40589641000000     		ar = 3360.97271499897m²