Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54822 / 16565
↖ ↑ ↗
← N 79.077538°
W 29.426880°		 ← 57.86 m → N 79.077538°
W 29.424134°		 →
↑
57.91 m
↓
↑
57.91 m
↓
N 79.077018°
W 29.426880°		 ← 57.86 m →
3 351 m²		 N 79.077018°
W 29.424134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16565 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418262481689453 y=0.126384735107422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418262481689453 × 217)
    floor (0.418262481689453 × 131072)
    floor (54822.5)     		tx = 54822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126384735107422 × 217)
    floor (0.126384735107422 × 131072)
    floor (16565.5)     		ty = 16565
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54822 / 16565 ti = "17/54822/16565"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54822/16565.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54822 ÷ 217
    54822 ÷ 131072     		x = 0.418258666992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16565 ÷ 217
    16565 ÷ 131072     		y = 0.126380920410156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418258666992188 × 2 - 1) × π
    -0.163482666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51359594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126380920410156 × 2 - 1) × π
    0.747238159179688 × 3.1415926535     		Φ = 2.34751791129377
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51359594} λ = -0.51359594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34751791129377))-π/2
    2×atan(10.4595758833906)-π/2
    2×1.47547986597095-π/2
    2.9509597319419-1.57079632675     		φ = 1.38016341
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51359594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.426880°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.38016341 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.077538°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54822 KachelY 16565 -0.51359594 1.38016341 -29.426880 79.077538
    Oben rechts KachelX + 1 54823 KachelY 16565 -0.51354801 1.38016341 -29.424134 79.077538
    Unten links KachelX 54822 KachelY + 1 16566 -0.51359594 1.38015432 -29.426880 79.077018
    Unten rechts KachelX + 1 54823 KachelY + 1 16566 -0.51354801 1.38015432 -29.424134 79.077018
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.38016341-1.38015432) × R
    9.0900000000449e-06 × 6371000     		dl = 57.912390000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.38016341-1.38015432) × R
    9.0900000000449e-06 × 6371000     		dr = 57.912390000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51359594--0.51354801) × cos(1.38016341) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.189480384081177 × 6371000     		do = 57.8601147281093m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51359594--0.51354801) × cos(1.38015432) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.189489309403513 × 6371000     		du = 57.8628401826561m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.38016341)-sin(1.38015432))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189480384081177-0.189489309403513)×R²
    abs(-0.51354801--0.51359594)×8.92532233554011e-06×R²
    4.79299999999183e-05×8.92532233554011e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×8.92532233554011e-06×40589641000000     		ar = 3350.89644846005m²