Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54822 / 11791
↖ ↑ ↗
← N 81.302093°
W 29.426880°		 ← 46.18 m → N 81.302093°
W 29.424134°		 →
↑
46.19 m
↓
↑
46.19 m
↓
N 81.301678°
W 29.426880°		 ← 46.18 m →
2 133 m²		 N 81.301678°
W 29.424134°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54822 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11791 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418262481689453 y=0.0899620056152344 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418262481689453 × 217)
    floor (0.418262481689453 × 131072)
    floor (54822.5)     		tx = 54822
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0899620056152344 × 217)
    floor (0.0899620056152344 × 131072)
    floor (11791.5)     		ty = 11791
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54822 / 11791 ti = "17/54822/11791"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54822/11791.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54822 ÷ 217
    54822 ÷ 131072     		x = 0.418258666992188
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11791 ÷ 217
    11791 ÷ 131072     		y = 0.0899581909179688
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418258666992188 × 2 - 1) × π
    -0.163482666015625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51359594
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0899581909179688 × 2 - 1) × π
    0.820083618164062 × 3.1415926535     		Φ = 2.57636867007992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51359594} λ = -0.51359594}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57636867007992))-π/2
    2×atan(13.1493019041789)-π/2
    2×1.49489276787164-π/2
    2.98978553574327-1.57079632675     		φ = 1.41898921
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51359594} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.426880°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41898921 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.302093°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54822 KachelY 11791 -0.51359594 1.41898921 -29.426880 81.302093
    Oben rechts KachelX + 1 54823 KachelY 11791 -0.51354801 1.41898921 -29.424134 81.302093
    Unten links KachelX 54822 KachelY + 1 11792 -0.51359594 1.41898196 -29.426880 81.301678
    Unten rechts KachelX + 1 54823 KachelY + 1 11792 -0.51354801 1.41898196 -29.424134 81.301678
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41898921-1.41898196) × R
    7.24999999990317e-06 × 6371000     		dl = 46.1897499993831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41898921-1.41898196) × R
    7.24999999990317e-06 × 6371000     		dr = 46.1897499993831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51359594--0.51354801) × cos(1.41898921) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.151224712314486 × 6371000     		do = 46.1782851384387m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51359594--0.51354801) × cos(1.41898196) × R
    4.79299999999183e-05 × 0.151231878931244 × 6371000     		du = 46.1804735510802m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41898921)-sin(1.41898196))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151224712314486-0.151231878931244)×R²
    abs(-0.51354801--0.51359594)×7.16661675828623e-06×R²
    4.79299999999183e-05×7.16661675828623e-06×6371000²
    4.79299999999183e-05×7.16661675828623e-06×40589641000000     		ar = 2133.013987021m²