Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54821 / 43134
↖ ↑ ↗
← N 52.271519°
W 29.429626°		 ← 186.90 m → N 52.271519°
W 29.426880°		 →
↑
186.86 m
↓
↑
186.86 m
↓
N 52.269838°
W 29.429626°		 ← 186.90 m →
34 924 m²		 N 52.269838°
W 29.426880°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54821 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43134 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418254852294922 y=0.329090118408203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418254852294922 × 217)
    floor (0.418254852294922 × 131072)
    floor (54821.5)     		tx = 54821
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329090118408203 × 217)
    floor (0.329090118408203 × 131072)
    floor (43134.5)     		ty = 43134
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54821 / 43134 ti = "17/54821/43134"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54821/43134.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54821 ÷ 217
    54821 ÷ 131072     		x = 0.418251037597656
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43134 ÷ 217
    43134 ÷ 131072     		y = 0.329086303710938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418251037597656 × 2 - 1) × π
    -0.163497924804688 × 3.1415926535     		Λ = -0.51364388
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329086303710938 × 2 - 1) × π
    0.341827392578125 × 3.1415926535     		Φ = 1.0738824252885
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51364388} λ = -0.51364388}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.0738824252885))-π/2
    2×atan(2.92672024362311)-π/2
    2×1.24155321812235-π/2
    2.48310643624471-1.57079632675     		φ = 0.91231011
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51364388} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.429626°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91231011 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.271519°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54821 KachelY 43134 -0.51364388 0.91231011 -29.429626 52.271519
    Oben rechts KachelX + 1 54822 KachelY 43134 -0.51359594 0.91231011 -29.426880 52.271519
    Unten links KachelX 54821 KachelY + 1 43135 -0.51364388 0.91228078 -29.429626 52.269838
    Unten rechts KachelX + 1 54822 KachelY + 1 43135 -0.51359594 0.91228078 -29.426880 52.269838
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91231011-0.91228078) × R
    2.93299999999386e-05 × 6371000     		dl = 186.861429999609m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91231011-0.91228078) × R
    2.93299999999386e-05 × 6371000     		dr = 186.861429999609m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51364388--0.51359594) × cos(0.91231011) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.611920272967328 × 6371000     		do = 186.896202192358m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51364388--0.51359594) × cos(0.91228078) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.611943470371649 × 6371000     		du = 186.903287276739m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91231011)-sin(0.91228078))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611920272967328-0.611943470371649)×R²
    abs(-0.51359594--0.51364388)×2.3197404321551e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.3197404321551e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.3197404321551e-05×40589641000000     		ar = 34924.3535701855m²