Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54820 / 14494
↖ ↑ ↗
← N 80.104413°
W 29.432373°		 ← 52.49 m → N 80.104413°
W 29.429626°		 →
↑
52.43 m
↓
↑
52.43 m
↓
N 80.103942°
W 29.432373°		 ← 52.49 m →
2 752 m²		 N 80.103942°
W 29.429626°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14494 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418247222900391 y=0.110584259033203 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418247222900391 × 217)
    floor (0.418247222900391 × 131072)
    floor (54820.5)     		tx = 54820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110584259033203 × 217)
    floor (0.110584259033203 × 131072)
    floor (14494.5)     		ty = 14494
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54820 / 14494 ti = "17/54820/14494"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54820/14494.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54820 ÷ 217
    54820 ÷ 131072     		x = 0.418243408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14494 ÷ 217
    14494 ÷ 131072     		y = 0.110580444335938
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418243408203125 × 2 - 1) × π
    -0.16351318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51369182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110580444335938 × 2 - 1) × π
    0.778839111328125 × 3.1415926535     		Φ = 2.44679523040691
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51369182} λ = -0.51369182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44679523040691))-π/2
    2×atan(11.5512681838395)-π/2
    2×1.48444104505734-π/2
    2.96888209011469-1.57079632675     		φ = 1.39808576
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51369182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.432373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39808576 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.104413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54820 KachelY 14494 -0.51369182 1.39808576 -29.432373 80.104413
    Oben rechts KachelX + 1 54821 KachelY 14494 -0.51364388 1.39808576 -29.429626 80.104413
    Unten links KachelX 54820 KachelY + 1 14495 -0.51369182 1.39807753 -29.432373 80.103942
    Unten rechts KachelX + 1 54821 KachelY + 1 14495 -0.51364388 1.39807753 -29.429626 80.103942
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39808576-1.39807753) × R
    8.23000000016449e-06 × 6371000     		dl = 52.433330001048m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39808576-1.39807753) × R
    8.23000000016449e-06 × 6371000     		dr = 52.433330001048m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51369182--0.51364388) × cos(1.39808576) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.17185321763286 × 6371000     		do = 52.4883961668628m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51369182--0.51364388) × cos(1.39807753) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.171861325185764 × 6371000     		du = 52.4908724222083m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39808576)-sin(1.39807753))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.17185321763286-0.171861325185764)×R²
    abs(-0.51364388--0.51369182)×8.10755290464593e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.10755290464593e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.10755290464593e-06×40589641000000     		ar = 2752.20631661406m²