Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54820 / 11788
↖ ↑ ↗
← N 81.303339°
W 29.432373°		 ← 46.18 m → N 81.303339°
W 29.429626°		 →
↑
46.19 m
↓
↑
46.19 m
↓
N 81.302924°
W 29.432373°		 ← 46.18 m →
2 133 m²		 N 81.302924°
W 29.429626°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54820 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11788 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418247222900391 y=0.0899391174316406 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418247222900391 × 217)
    floor (0.418247222900391 × 131072)
    floor (54820.5)     		tx = 54820
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0899391174316406 × 217)
    floor (0.0899391174316406 × 131072)
    floor (11788.5)     		ty = 11788
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54820 / 11788 ti = "17/54820/11788"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54820/11788.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54820 ÷ 217
    54820 ÷ 131072     		x = 0.418243408203125
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11788 ÷ 217
    11788 ÷ 131072     		y = 0.089935302734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418243408203125 × 2 - 1) × π
    -0.16351318359375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51369182
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.089935302734375 × 2 - 1) × π
    0.82012939453125 × 3.1415926535     		Φ = 2.57651248077878
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51369182} λ = -0.51369182}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57651248077878))-π/2
    2×atan(13.1511930504555)-π/2
    2×1.49490364096463-π/2
    2.98980728192926-1.57079632675     		φ = 1.41901096
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51369182} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.432373°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41901096 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.303339°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54820 KachelY 11788 -0.51369182 1.41901096 -29.432373 81.303339
    Oben rechts KachelX + 1 54821 KachelY 11788 -0.51364388 1.41901096 -29.429626 81.303339
    Unten links KachelX 54820 KachelY + 1 11789 -0.51369182 1.41900371 -29.432373 81.302924
    Unten rechts KachelX + 1 54821 KachelY + 1 11789 -0.51364388 1.41900371 -29.429626 81.302924
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41901096-1.41900371) × R
    7.25000000012521e-06 × 6371000     		dl = 46.1897500007977m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41901096-1.41900371) × R
    7.25000000012521e-06 × 6371000     		dr = 46.1897500007977m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51369182--0.51364388) × cos(1.41901096) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151203212416519 × 6371000     		do = 46.1813530426624m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51369182--0.51364388) × cos(1.41900371) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.151210379057123 × 6371000     		du = 46.1835419191721m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41901096)-sin(1.41900371))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151203212416519-0.151210379057123)×R²
    abs(-0.51364388--0.51369182)×7.16664060362859e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.16664060362859e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.16664060362859e-06×40589641000000     		ar = 2133.15570362342m²