Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54819 / 14493
↖ ↑ ↗
← N 80.104886°
W 29.435119°		 ← 52.47 m → N 80.104886°
W 29.432373°		 →
↑
52.50 m
↓
↑
52.50 m
↓
N 80.104413°
W 29.435119°		 ← 52.48 m →
2 755 m²		 N 80.104413°
W 29.432373°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54819 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14493 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418239593505859 y=0.110576629638672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418239593505859 × 217)
    floor (0.418239593505859 × 131072)
    floor (54819.5)     		tx = 54819
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110576629638672 × 217)
    floor (0.110576629638672 × 131072)
    floor (14493.5)     		ty = 14493
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54819 / 14493 ti = "17/54819/14493"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54819/14493.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54819 ÷ 217
    54819 ÷ 131072     		x = 0.418235778808594
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14493 ÷ 217
    14493 ÷ 131072     		y = 0.110572814941406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418235778808594 × 2 - 1) × π
    -0.163528442382812 × 3.1415926535     		Λ = -0.51373975
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.110572814941406 × 2 - 1) × π
    0.778854370117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.44684316730653
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51373975} λ = -0.51373975}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44684316730653))-π/2
    2×atan(11.5518219290952)-π/2
    2×1.48444516401523-π/2
    2.96889032803046-1.57079632675     		φ = 1.39809400
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51373975} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.435119°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39809400 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.104886°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54819 KachelY 14493 -0.51373975 1.39809400 -29.435119 80.104886
    Oben rechts KachelX + 1 54820 KachelY 14493 -0.51369182 1.39809400 -29.432373 80.104886
    Unten links KachelX 54819 KachelY + 1 14494 -0.51373975 1.39808576 -29.435119 80.104413
    Unten rechts KachelX + 1 54820 KachelY + 1 14494 -0.51369182 1.39808576 -29.432373 80.104413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39809400-1.39808576) × R
    8.23999999988168e-06 × 6371000     		dl = 52.4970399992462m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39809400-1.39808576) × R
    8.23999999988168e-06 × 6371000     		dr = 52.4970399992462m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51373975--0.51369182) × cos(1.39809400) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.171845100217075 × 6371000     		do = 52.4749686478717m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51373975--0.51369182) × cos(1.39808576) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.17185321763286 × 6371000     		du = 52.477447398434m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39809400)-sin(1.39808576))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171845100217075-0.17185321763286)×R²
    abs(-0.51369182--0.51373975)×8.11741578432557e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.11741578432557e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.11741578432557e-06×40589641000000     		ar = 2754.84559154001m²