Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54816 / 14876
↖ ↑ ↗
← N 79.922470°
W 29.443359°		 ← 53.43 m → N 79.922470°
W 29.440613°		 →
↑
53.39 m
↓
↑
53.39 m
↓
N 79.921990°
W 29.443359°		 ← 53.43 m →
2 853 m²		 N 79.921990°
W 29.440613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14876 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418216705322266 y=0.113498687744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418216705322266 × 217)
    floor (0.418216705322266 × 131072)
    floor (54816.5)     		tx = 54816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113498687744141 × 217)
    floor (0.113498687744141 × 131072)
    floor (14876.5)     		ty = 14876
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54816 / 14876 ti = "17/54816/14876"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54816/14876.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54816 ÷ 217
    54816 ÷ 131072     		x = 0.418212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14876 ÷ 217
    14876 ÷ 131072     		y = 0.113494873046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418212890625 × 2 - 1) × π
    -0.16357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51388356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113494873046875 × 2 - 1) × π
    0.77301025390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.42848333475204
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51388356} λ = -0.51388356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42848333475204))-π/2
    2×atan(11.3416675159605)-π/2
    2×1.48285329056438-π/2
    2.96570658112876-1.57079632675     		φ = 1.39491025
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51388356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.443359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39491025 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.922470°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54816 KachelY 14876 -0.51388356 1.39491025 -29.443359 79.922470
    Oben rechts KachelX + 1 54817 KachelY 14876 -0.51383563 1.39491025 -29.440613 79.922470
    Unten links KachelX 54816 KachelY + 1 14877 -0.51388356 1.39490187 -29.443359 79.921990
    Unten rechts KachelX + 1 54817 KachelY + 1 14877 -0.51383563 1.39490187 -29.440613 79.921990
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39491025-1.39490187) × R
    8.37999999991901e-06 × 6371000     		dl = 53.388979999484m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39491025-1.39490187) × R
    8.37999999991901e-06 × 6371000     		dr = 53.388979999484m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51388356--0.51383563) × cos(1.39491025) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.174980612465923 × 6371000     		do = 53.4324350332704m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51388356--0.51383563) × cos(1.39490187) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.174988863172127 × 6371000     		du = 53.4349544856656m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39491025)-sin(1.39490187))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174980612465923-0.174988863172127)×R²
    abs(-0.51383563--0.51388356)×8.25070620333324e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.25070620333324e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.25070620333324e-06×40589641000000     		ar = 2852.77046070437m²