Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54816 / 11781
↖ ↑ ↗
← N 81.306245°
W 29.443359°		 ← 46.16 m → N 81.306245°
W 29.440613°		 →
↑
46.13 m
↓
↑
46.13 m
↓
N 81.305830°
W 29.443359°		 ← 46.16 m →
2 129 m²		 N 81.305830°
W 29.440613°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54816 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11781 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418216705322266 y=0.0898857116699219 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418216705322266 × 217)
    floor (0.418216705322266 × 131072)
    floor (54816.5)     		tx = 54816
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0898857116699219 × 217)
    floor (0.0898857116699219 × 131072)
    floor (11781.5)     		ty = 11781
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54816 / 11781 ti = "17/54816/11781"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54816/11781.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54816 ÷ 217
    54816 ÷ 131072     		x = 0.418212890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11781 ÷ 217
    11781 ÷ 131072     		y = 0.0898818969726562
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418212890625 × 2 - 1) × π
    -0.16357421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51388356
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0898818969726562 × 2 - 1) × π
    0.820236206054688 × 3.1415926535     		Φ = 2.57684803907612
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51388356} λ = -0.51388356}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57684803907612))-π/2
    2×atan(13.1556067828944)-π/2
    2×1.49492900550474-π/2
    2.98985801100948-1.57079632675     		φ = 1.41906168
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51388356} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.443359°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41906168 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.306245°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54816 KachelY 11781 -0.51388356 1.41906168 -29.443359 81.306245
    Oben rechts KachelX + 1 54817 KachelY 11781 -0.51383563 1.41906168 -29.440613 81.306245
    Unten links KachelX 54816 KachelY + 1 11782 -0.51388356 1.41905444 -29.443359 81.305830
    Unten rechts KachelX + 1 54817 KachelY + 1 11782 -0.51383563 1.41905444 -29.440613 81.305830
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41906168-1.41905444) × R
    7.23999999996394e-06 × 6371000     		dl = 46.1260399997703m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41906168-1.41905444) × R
    7.23999999996394e-06 × 6371000     		dr = 46.1260399997703m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51388356--0.51383563) × cos(1.41906168) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151153075365094 × 6371000     		do = 46.1564099342563m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51388356--0.51383563) × cos(1.41905444) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151160232176197 × 6371000     		du = 46.1585953526231m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41906168)-sin(1.41905444))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151153075365094-0.151160232176197)×R²
    abs(-0.51383563--0.51388356)×7.15681110327604e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.15681110327604e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.15681110327604e-06×40589641000000     		ar = 2129.06281341482m²