Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54815 / 14877
↖ ↑ ↗
← N 79.921990°
W 29.446106°		 ← 53.45 m → N 79.921990°
W 29.443359°		 →
↑
53.45 m
↓
↑
53.45 m
↓
N 79.921509°
W 29.446106°		 ← 53.45 m →
2 857 m²		 N 79.921509°
W 29.443359°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54815 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14877 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418209075927734 y=0.113506317138672 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418209075927734 × 217)
    floor (0.418209075927734 × 131072)
    floor (54815.5)     		tx = 54815
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.113506317138672 × 217)
    floor (0.113506317138672 × 131072)
    floor (14877.5)     		ty = 14877
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54815 / 14877 ti = "17/54815/14877"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54815/14877.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54815 ÷ 217
    54815 ÷ 131072     		x = 0.418205261230469
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14877 ÷ 217
    14877 ÷ 131072     		y = 0.113502502441406
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418205261230469 × 2 - 1) × π
    -0.163589477539062 × 3.1415926535     		Λ = -0.51393150
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.113502502441406 × 2 - 1) × π
    0.772994995117188 × 3.1415926535     		Φ = 2.42843539785242
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51393150} λ = -0.51393150}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42843539785242))-π/2
    2×atan(11.3411238446143)-π/2
    2×1.48284909645148-π/2
    2.96569819290296-1.57079632675     		φ = 1.39490187
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51393150} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.446106°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39490187 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.921990°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54815 KachelY 14877 -0.51393150 1.39490187 -29.446106 79.921990
    Oben rechts KachelX + 1 54816 KachelY 14877 -0.51388356 1.39490187 -29.443359 79.921990
    Unten links KachelX 54815 KachelY + 1 14878 -0.51393150 1.39489348 -29.446106 79.921509
    Unten rechts KachelX + 1 54816 KachelY + 1 14878 -0.51388356 1.39489348 -29.443359 79.921509
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39490187-1.39489348) × R
    8.39000000008028e-06 × 6371000     		dl = 53.4526900005115m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39490187-1.39489348) × R
    8.39000000008028e-06 × 6371000     		dr = 53.4526900005115m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51393150--0.51388356) × cos(1.39490187) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174988863172127 × 6371000     		do = 53.4461030260705m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51393150--0.51388356) × cos(1.39489348) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.174997123711731 × 6371000     		du = 53.448626007492m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39490187)-sin(1.39489348))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.174988863172127-0.174997123711731)×R²
    abs(-0.51388356--0.51393150)×8.26053960448214e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.26053960448214e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.26053960448214e-06×40589641000000     		ar = 2856.90540696965m²