Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54814 / 16591
↖ ↑ ↗
← N 79.063999°
W 29.448853°		 ← 57.94 m → N 79.063999°
W 29.446106°		 →
↑
57.91 m
↓
↑
57.91 m
↓
N 79.063478°
W 29.448853°		 ← 57.95 m →
3 356 m²		 N 79.063478°
W 29.446106°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54814 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 16591 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418201446533203 y=0.126583099365234 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418201446533203 × 217)
    floor (0.418201446533203 × 131072)
    floor (54814.5)     		tx = 54814
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.126583099365234 × 217)
    floor (0.126583099365234 × 131072)
    floor (16591.5)     		ty = 16591
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54814 / 16591 ti = "17/54814/16591"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54814/16591.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54814 ÷ 217
    54814 ÷ 131072     		x = 0.418197631835938
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 16591 ÷ 217
    16591 ÷ 131072     		y = 0.126579284667969
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418197631835938 × 2 - 1) × π
    -0.163604736328125 × 3.1415926535     		Λ = -0.51397944
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.126579284667969 × 2 - 1) × π
    0.746841430664062 × 3.1415926535     		Φ = 2.34627155190365
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51397944} λ = -0.51397944}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.34627155190365))-π/2
    2×atan(10.4465476134115)-π/2
    2×1.4753617133594-π/2
    2.95072342671879-1.57079632675     		φ = 1.37992710
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51397944} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.448853°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.37992710 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.063999°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54814 KachelY 16591 -0.51397944 1.37992710 -29.448853 79.063999
    Oben rechts KachelX + 1 54815 KachelY 16591 -0.51393150 1.37992710 -29.446106 79.063999
    Unten links KachelX 54814 KachelY + 1 16592 -0.51397944 1.37991801 -29.448853 79.063478
    Unten rechts KachelX + 1 54815 KachelY + 1 16592 -0.51393150 1.37991801 -29.446106 79.063478
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.37992710-1.37991801) × R
    9.0900000000449e-06 × 6371000     		dl = 57.912390000286m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.37992710-1.37991801) × R
    9.0900000000449e-06 × 6371000     		dr = 57.912390000286m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51397944--0.51393150) × cos(1.37992710) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189712407916221 × 6371000     		do = 57.9430525749555m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51397944--0.51393150) × cos(1.37991801) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.189721332831283 × 6371000     		du = 57.9457784737428m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.37992710)-sin(1.37991801))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.189712407916221-0.189721332831283)×R²
    abs(-0.51393150--0.51397944)×8.92491506193638e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.92491506193638e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.92491506193638e-06×40589641000000     		ar = 3355.69959021352m²