Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54813 / 11796
↖ ↑ ↗
← N 81.300016°
W 29.451599°		 ← 46.19 m → N 81.300016°
W 29.448853°		 →
↑
46.19 m
↓
↑
46.19 m
↓
N 81.299601°
W 29.451599°		 ← 46.19 m →
2 134 m²		 N 81.299601°
W 29.448853°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54813 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11796 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418193817138672 y=0.0900001525878906 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418193817138672 × 217)
    floor (0.418193817138672 × 131072)
    floor (54813.5)     		tx = 54813
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0900001525878906 × 217)
    floor (0.0900001525878906 × 131072)
    floor (11796.5)     		ty = 11796
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54813 / 11796 ti = "17/54813/11796"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54813/11796.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54813 ÷ 217
    54813 ÷ 131072     		x = 0.418190002441406
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11796 ÷ 217
    11796 ÷ 131072     		y = 0.089996337890625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418190002441406 × 2 - 1) × π
    -0.163619995117188 × 3.1415926535     		Λ = -0.51402737
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.089996337890625 × 2 - 1) × π
    0.82000732421875 × 3.1415926535     		Φ = 2.57612898558182
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51402737} λ = -0.51402737}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57612898558182))-π/2
    2×atan(13.1461505980263)-π/2
    2×1.49487464261477-π/2
    2.98974928522955-1.57079632675     		φ = 1.41895296
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51402737} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.451599°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41895296 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.300016°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54813 KachelY 11796 -0.51402737 1.41895296 -29.451599 81.300016
    Oben rechts KachelX + 1 54814 KachelY 11796 -0.51397944 1.41895296 -29.448853 81.300016
    Unten links KachelX 54813 KachelY + 1 11797 -0.51402737 1.41894571 -29.451599 81.299601
    Unten rechts KachelX + 1 54814 KachelY + 1 11797 -0.51397944 1.41894571 -29.448853 81.299601
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41895296-1.41894571) × R
    7.24999999990317e-06 × 6371000     		dl = 46.1897499993831m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41895296-1.41894571) × R
    7.24999999990317e-06 × 6371000     		dr = 46.1897499993831m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51402737--0.51397944) × cos(1.41895296) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151260545318783 × 6371000     		do = 46.1892271774787m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51402737--0.51397944) × cos(1.41894571) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.151267711895792 × 6371000     		du = 46.1914155779823m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41895296)-sin(1.41894571))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.151260545318783-0.151267711895792)×R²
    abs(-0.51397944--0.51402737)×7.16657700891576e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.16657700891576e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.16657700891576e-06×40589641000000     		ar = 2133.51939689172m²