Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54811 / 42668
↖ ↑ ↗
← N 53.047818°
W 29.457092°		 ← 183.61 m → N 53.047818°
W 29.454346°		 →
↑
183.55 m
↓
↑
183.55 m
↓
N 53.046167°
W 29.457092°		 ← 183.61 m →
33 701 m²		 N 53.046167°
W 29.454346°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54811 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42668 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418178558349609 y=0.325534820556641 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418178558349609 × 217)
    floor (0.418178558349609 × 131072)
    floor (54811.5)     		tx = 54811
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325534820556641 × 217)
    floor (0.325534820556641 × 131072)
    floor (42668.5)     		ty = 42668
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54811 / 42668 ti = "17/54811/42668"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54811/42668.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54811 ÷ 217
    54811 ÷ 131072     		x = 0.418174743652344
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42668 ÷ 217
    42668 ÷ 131072     		y = 0.325531005859375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418174743652344 × 2 - 1) × π
    -0.163650512695312 × 3.1415926535     		Λ = -0.51412325
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.325531005859375 × 2 - 1) × π
    0.34893798828125 × 3.1415926535     		Φ = 1.09622102051144
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51412325} λ = -0.51412325}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09622102051144))-π/2
    2×atan(2.99283476594235)-π/2
    2×1.2483277055806-π/2
    2.49665541116119-1.57079632675     		φ = 0.92585908
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51412325} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.457092°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92585908 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.047818°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54811 KachelY 42668 -0.51412325 0.92585908 -29.457092 53.047818
    Oben rechts KachelX + 1 54812 KachelY 42668 -0.51407531 0.92585908 -29.454346 53.047818
    Unten links KachelX 54811 KachelY + 1 42669 -0.51412325 0.92583027 -29.457092 53.046167
    Unten rechts KachelX + 1 54812 KachelY + 1 42669 -0.51407531 0.92583027 -29.454346 53.046167
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92585908-0.92583027) × R
    2.88099999999902e-05 × 6371000     		dl = 183.548509999938m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92585908-0.92583027) × R
    2.88099999999902e-05 × 6371000     		dr = 183.548509999938m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51412325--0.51407531) × cos(0.92585908) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.601148291258752 × 6371000     		do = 183.606161707745m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51412325--0.51407531) × cos(0.92583027) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.601171314160426 × 6371000     		du = 183.613193494525m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92585908)-sin(0.92583027))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.601148291258752-0.601171314160426)×R²
    abs(-0.51407531--0.51412325)×2.302290167433e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.302290167433e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.302290167433e-05×40589641000000     		ar = 33701.2827475769m²