Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

Tele ← 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 16 17 → Makro
17 / 54810 / 42648
↖ ↑ ↗
← N 53.080828°
W 29.459839°		 ← 183.47 m → N 53.080828°
W 29.457092°		 →
↑
183.48 m
↓
↑
183.48 m
↓
N 53.079177°
W 29.459839°		 ← 183.47 m →
33 664 m²		 N 53.079177°
W 29.457092°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54810 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 42648 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418170928955078 y=0.325382232666016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418170928955078 × 217)
    floor (0.418170928955078 × 131072)
    floor (54810.5)     		tx = 54810
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.325382232666016 × 217)
    floor (0.325382232666016 × 131072)
    floor (42648.5)     		ty = 42648
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54810 / 42648 ti = "17/54810/42648"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54810/42648.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54810 ÷ 217
    54810 ÷ 131072     		x = 0.418167114257812
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 42648 ÷ 217
    42648 ÷ 131072     		y = 0.32537841796875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418167114257812 × 2 - 1) × π
    -0.163665771484375 × 3.1415926535     		Λ = -0.51417119
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32537841796875 × 2 - 1) × π
    0.3492431640625 × 3.1415926535     		Φ = 1.09717975850385
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51417119} λ = -0.51417119}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.09717975850385))-π/2
    2×atan(2.99570548625186)-π/2
    2×1.24861576705075-π/2
    2.49723153410149-1.57079632675     		φ = 0.92643521
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51417119} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.459839°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.92643521 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 53.080828°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54810 KachelY 42648 -0.51417119 0.92643521 -29.459839 53.080828
    Oben rechts KachelX + 1 54811 KachelY 42648 -0.51412325 0.92643521 -29.457092 53.080828
    Unten links KachelX 54810 KachelY + 1 42649 -0.51417119 0.92640641 -29.459839 53.079177
    Unten rechts KachelX + 1 54811 KachelY + 1 42649 -0.51412325 0.92640641 -29.457092 53.079177
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.92643521-0.92640641) × R
    2.879999999994e-05 × 6371000     		dl = 183.484799999618m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.92643521-0.92640641) × R
    2.879999999994e-05 × 6371000     		dr = 183.484799999618m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51417119--0.51412325) × cos(0.92643521) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.600687784432365 × 6371000     		do = 183.465511069095m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51417119--0.51412325) × cos(0.92640641) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.600710809313788 × 6371000     		du = 183.472543460542m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.92643521)-sin(0.92640641))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.600687784432365-0.600710809313788)×R²
    abs(-0.51412325--0.51417119)×2.30248814226952e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.30248814226952e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.30248814226952e-05×40589641000000     		ar = 33663.7777761231m²