Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54808 / 14472
↖ ↑ ↗
← N 80.114793°
W 29.465332°		 ← 52.43 m → N 80.114793°
W 29.462585°		 →
↑
52.43 m
↓
↑
52.43 m
↓
N 80.114321°
W 29.465332°		 ← 52.44 m →
2 749 m²		 N 80.114321°
W 29.462585°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54808 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 14472 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418155670166016 y=0.110416412353516 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418155670166016 × 217)
    floor (0.418155670166016 × 131072)
    floor (54808.5)     		tx = 54808
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.110416412353516 × 217)
    floor (0.110416412353516 × 131072)
    floor (14472.5)     		ty = 14472
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54808 / 14472 ti = "17/54808/14472"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54808/14472.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54808 ÷ 217
    54808 ÷ 131072     		x = 0.41815185546875
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 14472 ÷ 217
    14472 ÷ 131072     		y = 0.11041259765625
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.41815185546875 × 2 - 1) × π
    -0.1636962890625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51426706
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.11041259765625 × 2 - 1) × π
    0.7791748046875 × 3.1415926535     		Φ = 2.44784984219855
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51426706} λ = -0.51426706}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.44784984219855))-π/2
    2×atan(11.5634567134284)-π/2
    2×1.48453161721315-π/2
    2.96906323442631-1.57079632675     		φ = 1.39826691
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51426706} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.465332°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39826691 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.114793°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54808 KachelY 14472 -0.51426706 1.39826691 -29.465332 80.114793
    Oben rechts KachelX + 1 54809 KachelY 14472 -0.51421912 1.39826691 -29.462585 80.114793
    Unten links KachelX 54808 KachelY + 1 14473 -0.51426706 1.39825868 -29.465332 80.114321
    Unten rechts KachelX + 1 54809 KachelY + 1 14473 -0.51421912 1.39825868 -29.462585 80.114321
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39826691-1.39825868) × R
    8.22999999994245e-06 × 6371000     		dl = 52.4333299996334m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39826691-1.39825868) × R
    8.22999999994245e-06 × 6371000     		dr = 52.4333299996334m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51426706--0.51421912) × cos(1.39826691) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.171674759861153 × 6371000     		do = 52.4338905698807m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51426706--0.51421912) × cos(1.39825868) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.171682867670141 × 6371000     		du = 52.4363669034404m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39826691)-sin(1.39825868))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.171674759861153-0.171682867670141)×R²
    abs(-0.51421912--0.51426706)×8.10780898730101e-06×R²
    4.79399999999686e-05×8.10780898730101e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×8.10780898730101e-06×40589641000000     		ar = 2749.34840855083m²