Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54807 / 43125
↖ ↑ ↗
← N 52.286643°
W 29.468079°		 ← 186.83 m → N 52.286643°
W 29.465332°		 →
↑
186.86 m
↓
↑
186.86 m
↓
N 52.284962°
W 29.468079°		 ← 186.84 m →
34 912 m²		 N 52.284962°
W 29.465332°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54807 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43125 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418148040771484 y=0.329021453857422 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418148040771484 × 217)
    floor (0.418148040771484 × 131072)
    floor (54807.5)     		tx = 54807
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329021453857422 × 217)
    floor (0.329021453857422 × 131072)
    floor (43125.5)     		ty = 43125
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54807 / 43125 ti = "17/54807/43125"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54807/43125.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54807 ÷ 217
    54807 ÷ 131072     		x = 0.418144226074219
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43125 ÷ 217
    43125 ÷ 131072     		y = 0.329017639160156
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418144226074219 × 2 - 1) × π
    -0.163711547851562 × 3.1415926535     		Λ = -0.51431500
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.329017639160156 × 2 - 1) × π
    0.341964721679688 × 3.1415926535     		Φ = 1.07431385738508
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51431500} λ = -0.51431500}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07431385738508))-π/2
    2×atan(2.92798319709366)-π/2
    2×1.2416851966254-π/2
    2.48337039325081-1.57079632675     		φ = 0.91257407
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51431500} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.468079°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91257407 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.286643°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54807 KachelY 43125 -0.51431500 0.91257407 -29.468079 52.286643
    Oben rechts KachelX + 1 54808 KachelY 43125 -0.51426706 0.91257407 -29.465332 52.286643
    Unten links KachelX 54807 KachelY + 1 43126 -0.51431500 0.91254474 -29.468079 52.284962
    Unten rechts KachelX + 1 54808 KachelY + 1 43126 -0.51426706 0.91254474 -29.465332 52.284962
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91257407-0.91254474) × R
    2.93300000000496e-05 × 6371000     		dl = 186.861430000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91257407-0.91254474) × R
    2.93300000000496e-05 × 6371000     		dr = 186.861430000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51431500--0.51426706) × cos(0.91257407) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.611711480553469 × 6371000     		do = 186.832431614416m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51431500--0.51426706) × cos(0.91254474) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.611734682694527 × 6371000     		du = 186.839518145519m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91257407)-sin(0.91254474))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611711480553469-0.611734682694527)×R²
    abs(-0.51426706--0.51431500)×2.32021410574434e-05×R²
    4.79399999999686e-05×2.32021410574434e-05×6371000²
    4.79399999999686e-05×2.32021410574434e-05×40589641000000     		ar = 34912.4374440088m²