Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54806 / 15002
↖ ↑ ↗
← N 79.861734°
W 29.470825°		 ← 53.75 m → N 79.861734°
W 29.468079°		 →
↑
53.71 m
↓
↑
53.71 m
↓
N 79.861251°
W 29.470825°		 ← 53.75 m →
2 887 m²		 N 79.861251°
W 29.468079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 15002 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418140411376953 y=0.114459991455078 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418140411376953 × 217)
    floor (0.418140411376953 × 131072)
    floor (54806.5)     		tx = 54806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.114459991455078 × 217)
    floor (0.114459991455078 × 131072)
    floor (15002.5)     		ty = 15002
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54806 / 15002 ti = "17/54806/15002"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54806/15002.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54806 ÷ 217
    54806 ÷ 131072     		x = 0.418136596679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 15002 ÷ 217
    15002 ÷ 131072     		y = 0.114456176757812
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418136596679688 × 2 - 1) × π
    -0.163726806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51436293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.114456176757812 × 2 - 1) × π
    0.771087646484375 × 3.1415926535     		Φ = 2.42244328539992
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51436293} λ = -0.51436293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.42244328539992))-π/2
    2×atan(11.2733697529957)-π/2
    2×1.48232327049232-π/2
    2.96464654098463-1.57079632675     		φ = 1.39385021
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51436293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.470825°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.39385021 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 79.861734°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54806 KachelY 15002 -0.51436293 1.39385021 -29.470825 79.861734
    Oben rechts KachelX + 1 54807 KachelY 15002 -0.51431500 1.39385021 -29.468079 79.861734
    Unten links KachelX 54806 KachelY + 1 15003 -0.51436293 1.39384178 -29.470825 79.861251
    Unten rechts KachelX + 1 54807 KachelY + 1 15003 -0.51431500 1.39384178 -29.468079 79.861251
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.39385021-1.39384178) × R
    8.43000000005922e-06 × 6371000     		dl = 53.7075300003773m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.39385021-1.39384178) × R
    8.43000000005922e-06 × 6371000     		dr = 53.7075300003773m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51436293--0.51431500) × cos(1.39385021) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.176024199533743 × 6371000     		do = 53.7511068987817m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51436293--0.51431500) × cos(1.39384178) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.176032497900116 × 6371000     		du = 53.753640904783m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.39385021)-sin(1.39384178))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.176024199533743-0.176032497900116)×R²
    abs(-0.51431500--0.51436293)×8.29836637311621e-06×R²
    4.79300000000293e-05×8.29836637311621e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×8.29836637311621e-06×40589641000000     		ar = 2886.90723392211m²