Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54806 / 11741
↖ ↑ ↗
← N 81.322836°
W 29.470825°		 ← 46.07 m → N 81.322836°
W 29.468079°		 →
↑
46.06 m
↓
↑
46.06 m
↓
N 81.322421°
W 29.470825°		 ← 46.07 m →
2 122 m²		 N 81.322421°
W 29.468079°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54806 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 11741 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418140411376953 y=0.0895805358886719 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418140411376953 × 217)
    floor (0.418140411376953 × 131072)
    floor (54806.5)     		tx = 54806
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.0895805358886719 × 217)
    floor (0.0895805358886719 × 131072)
    floor (11741.5)     		ty = 11741
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54806 / 11741 ti = "17/54806/11741"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54806/11741.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54806 ÷ 217
    54806 ÷ 131072     		x = 0.418136596679688
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 11741 ÷ 217
    11741 ÷ 131072     		y = 0.0895767211914062
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418136596679688 × 2 - 1) × π
    -0.163726806640625 × 3.1415926535     		Λ = -0.51436293
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.0895767211914062 × 2 - 1) × π
    0.820846557617188 × 3.1415926535     		Φ = 2.57876551506092
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51436293} λ = -0.51436293}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.57876551506092))-π/2
    2×atan(13.1808565431342)-π/2
    2×1.49507378444114-π/2
    2.99014756888229-1.57079632675     		φ = 1.41935124
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51436293} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.470825°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.41935124 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 81.322836°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54806 KachelY 11741 -0.51436293 1.41935124 -29.470825 81.322836
    Oben rechts KachelX + 1 54807 KachelY 11741 -0.51431500 1.41935124 -29.468079 81.322836
    Unten links KachelX 54806 KachelY + 1 11742 -0.51436293 1.41934401 -29.470825 81.322421
    Unten rechts KachelX + 1 54807 KachelY + 1 11742 -0.51431500 1.41934401 -29.468079 81.322421
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.41935124-1.41934401) × R
    7.22999999980267e-06 × 6371000     		dl = 46.0623299987428m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.41935124-1.41934401) × R
    7.22999999980267e-06 × 6371000     		dr = 46.0623299987428m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51436293--0.51431500) × cos(1.41935124) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.150866835970197 × 6371000     		do = 46.0690032915647m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51436293--0.51431500) × cos(1.41934401) × R
    4.79300000000293e-05 × 0.150873983212357 × 6371000     		du = 46.0711857879396m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.41935124)-sin(1.41934401))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.150866835970197-0.150873983212357)×R²
    abs(-0.51431500--0.51436293)×7.14724216002716e-06×R²
    4.79300000000293e-05×7.14724216002716e-06×6371000²
    4.79300000000293e-05×7.14724216002716e-06×40589641000000     		ar = 2122.09589777315m²