Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54805 / 13595
↖ ↑ ↗
← N 80.519865°
W 29.473572°		 ← 50.31 m → N 80.519865°
W 29.470825°		 →
↑
50.27 m
↓
↑
50.27 m
↓
N 80.519413°
W 29.473572°		 ← 50.31 m →
2 529 m²		 N 80.519413°
W 29.470825°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54805 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13595 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418132781982422 y=0.103725433349609 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418132781982422 × 217)
    floor (0.418132781982422 × 131072)
    floor (54805.5)     		tx = 54805
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103725433349609 × 217)
    floor (0.103725433349609 × 131072)
    floor (13595.5)     		ty = 13595
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54805 / 13595 ti = "17/54805/13595"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54805/13595.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54805 ÷ 217
    54805 ÷ 131072     		x = 0.418128967285156
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13595 ÷ 217
    13595 ÷ 131072     		y = 0.103721618652344
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418128967285156 × 2 - 1) × π
    -0.163742065429688 × 3.1415926535     		Λ = -0.51441087
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103721618652344 × 2 - 1) × π
    0.792556762695312 × 3.1415926535     		Φ = 2.48989050316534
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51441087} λ = -0.51441087}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48989050316534))-π/2
    2×atan(12.0599555211896)-π/2
    2×1.4880665397144-π/2
    2.97613307942879-1.57079632675     		φ = 1.40533675
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51441087} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.473572°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40533675 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.519865°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54805 KachelY 13595 -0.51441087 1.40533675 -29.473572 80.519865
    Oben rechts KachelX + 1 54806 KachelY 13595 -0.51436293 1.40533675 -29.470825 80.519865
    Unten links KachelX 54805 KachelY + 1 13596 -0.51441087 1.40532886 -29.473572 80.519413
    Unten rechts KachelX + 1 54806 KachelY + 1 13596 -0.51436293 1.40532886 -29.470825 80.519413
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40533675-1.40532886) × R
    7.89000000001039e-06 × 6371000     		dl = 50.2671900000662m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40533675-1.40532886) × R
    7.89000000001039e-06 × 6371000     		dr = 50.2671900000662m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51441087--0.51436293) × cos(1.40533675) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164705648614765 × 6371000     		do = 50.3053446103115m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51441087--0.51436293) × cos(1.40532886) × R
    4.79399999999686e-05 × 0.164713430854051 × 6371000     		du = 50.3077215065043m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40533675)-sin(1.40532886))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164705648614765-0.164713430854051)×R²
    abs(-0.51436293--0.51441087)×7.78223928613042e-06×R²
    4.79399999999686e-05×7.78223928613042e-06×6371000²
    4.79399999999686e-05×7.78223928613042e-06×40589641000000     		ar = 2528.76805558203m²