Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54804 / 43128
↖ ↑ ↗
← N 52.281602°
W 29.476319°		 ← 186.85 m → N 52.281602°
W 29.473572°		 →
↑
186.86 m
↓
↑
186.86 m
↓
N 52.279921°
W 29.476319°		 ← 186.86 m →
34 916 m²		 N 52.279921°
W 29.473572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 43128 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418125152587891 y=0.329044342041016 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418125152587891 × 217)
    floor (0.418125152587891 × 131072)
    floor (54804.5)     		tx = 54804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.329044342041016 × 217)
    floor (0.329044342041016 × 131072)
    floor (43128.5)     		ty = 43128
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54804 / 43128 ti = "17/54804/43128"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54804/43128.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54804 ÷ 217
    54804 ÷ 131072     		x = 0.418121337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 43128 ÷ 217
    43128 ÷ 131072     		y = 0.32904052734375
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418121337890625 × 2 - 1) × π
    -0.16375732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51445881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.32904052734375 × 2 - 1) × π
    0.3419189453125 × 3.1415926535     		Φ = 1.07417004668622
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51445881} λ = -0.51445881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(1.07417004668622))-π/2
    2×atan(2.92756215205995)-π/2
    2×1.24164120879539-π/2
    2.48328241759078-1.57079632675     		φ = 0.91248609
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51445881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.476319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 0.91248609 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 52.281602°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54804 KachelY 43128 -0.51445881 0.91248609 -29.476319 52.281602
    Oben rechts KachelX + 1 54805 KachelY 43128 -0.51441087 0.91248609 -29.473572 52.281602
    Unten links KachelX 54804 KachelY + 1 43129 -0.51445881 0.91245676 -29.476319 52.279921
    Unten rechts KachelX + 1 54805 KachelY + 1 43129 -0.51441087 0.91245676 -29.473572 52.279921
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(0.91248609-0.91245676) × R
    2.93300000000496e-05 × 6371000     		dl = 186.861430000316m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(0.91248609-0.91245676) × R
    2.93300000000496e-05 × 6371000     		dr = 186.861430000316m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51445881--0.51441087) × cos(0.91248609) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.611781077487618 × 6371000     		do = 186.853688309963m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51445881--0.51441087) × cos(0.91245676) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.611804278050063 × 6371000     		du = 186.860774358916m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(0.91248609)-sin(0.91245676))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.611781077487618-0.611804278050063)×R²
    abs(-0.51441087--0.51445881)×2.32005624447584e-05×R²
    4.79400000000796e-05×2.32005624447584e-05×6371000²
    4.79400000000796e-05×2.32005624447584e-05×40589641000000     		ar = 34916.4094557328m²