Die Mathematik von Kartenkacheln interaktiv erklärt

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17 / 54804 / 13596
↖ ↑ ↗
← N 80.519413°
W 29.476319°		 ← 50.31 m → N 80.519413°
W 29.473572°		 →
↑
50.33 m
↓
↑
50.33 m
↓
N 80.518960°
W 29.476319°		 ← 50.31 m →
2 532 m²		 N 80.518960°
W 29.473572°
↙ ↓ ↘

Die Berechnung

  1. Aus der URL werden die Kachel-Parameter übernommen:
    Name Parameter Wert Wertebereich Erklärung zum Wertebereich
    Vergrößerungsstufe tz 17 0… Keine obere Grenze. Es sollte aber Kacheln für die gewählte Stufe geben.
    Kachel-X tx 54804 0…2zoom-1
    Kachel-Y ty 13596 0…2zoom-1
  2. Aus der Kartenposition x=0.418125152587891 y=0.103733062744141 und der Vergrößerungsstufe zoom=17 berechnen wir die Kachelnummer:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Kachel-X (tx) floor (x × 2zoom) floor (0.418125152587891 × 217)
    floor (0.418125152587891 × 131072)
    floor (54804.5)     		tx = 54804
    Kachel-Y (ty) floor (y × 2zoom) floor (0.103733062744141 × 217)
    floor (0.103733062744141 × 131072)
    floor (13596.5)     		ty = 13596
    Kachel-Pfad (ti) "zoom/tx/tz" 17 / 54804 / 13596 ti = "17/54804/13596"
  3. Anzeige der Kachel https://a.tile.openstreetmap.org/17/54804/13596.png und Kaffeepause.
  4. Wir berechnen aus der Kachelnummer die Koordinaten der linken oberen Kachelecke.
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    X-Position (x) tx ÷ 2tz 54804 ÷ 217
    54804 ÷ 131072     		x = 0.418121337890625
    Y-Position (y) ty ÷ 2tz 13596 ÷ 217
    13596 ÷ 131072     		y = 0.103729248046875
    Länge (Λ)
    (Merkator)    		 +(x × 2 - 1) × π +(0.418121337890625 × 2 - 1) × π
    -0.16375732421875 × 3.1415926535     		Λ = -0.51445881
    Breite (Φ)
    (Merkator)    		 -(y × 2 - 1) × π -(0.103729248046875 × 2 - 1) × π
    0.79254150390625 × 3.1415926535     		Φ = 2.48984256626572
    Länge (λ) Λ (unverändert) -0.51445881} λ = -0.51445881}
    Breite (φ) 2×atan(exp(Φ))-π/2 2×atan(exp(2.48984256626572))-π/2
    2×atan(12.0593774181687)-π/2
    2×1.48806259188206-π/2
    2.97612518376411-1.57079632675     		φ = 1.40532886
    Länge in Grad λ ÷ π × 180° -0.51445881} ÷ 3.1415926535 × 180° lon = -29.476319°
    Breite in Grad φ ÷ π × 180° 1.40532886 ÷ 3.1415926535 × 180° lat = 80.519413°
  5. Die Koordinaten der anderen Ecken werden aus den Kachelnummern der Nachbarkacheln berechnet:
    Ecke tx ty λ φ Länge in Grad Breite in Grad
    Oben links KachelX 54804 KachelY 13596 -0.51445881 1.40532886 -29.476319 80.519413
    Oben rechts KachelX + 1 54805 KachelY 13596 -0.51441087 1.40532886 -29.473572 80.519413
    Unten links KachelX 54804 KachelY + 1 13597 -0.51445881 1.40532096 -29.476319 80.518960
    Unten rechts KachelX + 1 54805 KachelY + 1 13597 -0.51441087 1.40532096 -29.473572 80.518960
  6. Die Kantenlängen werden aus den Koordinaten der Eckpunkte sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Linke Seite abs(φOL-φUL) × R abs(1.40532886-1.40532096) × R
    7.89999999994961e-06 × 6371000     		dl = 50.330899999679m
    Rechte Seite abs(φOR-φUR) × R abs(1.40532886-1.40532096) × R
    7.89999999994961e-06 × 6371000     		dr = 50.330899999679m
    Obere Seite abs(λOL-λOR) × cos(φOL) × R abs(-0.51445881--0.51441087) × cos(1.40532886) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.164713430854051 × 6371000     		do = 50.3077215066208m
    Untere Seite abs(λUL-λUR) × cos(φUL) × R abs(-0.51445881--0.51441087) × cos(1.40532096) × R
    4.79400000000796e-05 × 0.164721222946485 × 6371000     		du = 50.3101014122186m
  7. Die Fläche wird aus den Koordinaten von linker oberer und rechter unterer Ecke sowie dem Erdradius R berechnet:
    Name Formel Berechnung Ergebnis
    Fläche abs(λ1-λ2)×abs(sinφ1-sinφ2)×R² abs(λ1-λ2)×abs(sin(1.40532886)-sin(1.40532096))×R²
    abs(λ1-λ2)×abs(0.164713430854051-0.164721222946485)×R²
    abs(-0.51441087--0.51445881)×7.79209243395584e-06×R²
    4.79400000000796e-05×7.79209243395584e-06×6371000²
    4.79400000000796e-05×7.79209243395584e-06×40589641000000     		ar = 2532.09279169033m²